课程名称︰管理数学
课程性质︰必修
课程教师︰黄以达
开课学院：管理学院
开课系所︰财务金融学系
考试日期（年月日）︰(take home) due to 101.12.21
考试时限（分钟）：X
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
一、20% (Tiao’s lemma 1) 3
设A为正定矩阵，请证明对于任意c∈R ，必定有: (c^(T)Ac)*(c^(T)A^(-1)c)≧(c^Tc)^2
(Hint:令x=c+αA^(-1)c，其中α为任意常数。)
二、20% (平方根分解)
设A为一个对称正定矩阵，请回答下列问题。
(1)15% 请证明必存在一个矩阵 A^0.5 ，使得 A= A^0.5 * A^0.5。
(2)5% 若将题设改为半正定矩阵，请问上一小题的结论依旧会成立吗？
三、20% (多元常态分配的标准化)
~ ~
设X～Np(μ,Σ)，其中Σ为一个正定矩阵，请回答下列问题。
(1)5% 请证明存在Σ^-0.5，使得Σ^-1=Σ^-0.5 * Σ^-0.5 。
(2)5% 若将题设改为半正定矩阵，请问上一小题的结论依旧会成立吗？
~ ~
(3)10% 请寻找M矩阵以及b向量使得 M(X+b)～Np (0,I )。
p*p
四、20% (极值问题I)
已知一双变量函数如下：f(x,y)=9xy-x^3-y^3-6
(1)10% 求此函数所有的临界点。
(2)10% 请判断每个临界点的行为，是鞍点还是何种相对极值点？
五、20% (极值问题II)
已知一双变量函数如下： f(x,y)=(1/x) + xy – (8/y)
(1)10% 求此函数所有的临界点。
(2)10% 请判断每个临界点的行为，是鞍点还是何种相对极值点？