课程名称︰管理数学
课程性质︰必修
课程教师︰黄以达
开课学院：管理学院
开课系所︰财务金融学系
考试日期（年月日）︰101.12.07
考试时限（分钟）：50
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
一、24% 假设A为一正定的矩阵且A^-1存在，请证明
(1)8% A的特征值必定大于零。
(2)8% A^-1的特征值必定与A的特征值成倒数。
(3)8% A^T的特征值必定与A的特征值相同。
二、16% 设A为一个实对称矩阵，请证明以下命题。
(1)8% A的不同特征值所对应的特征向量必线性独立。
(2)8% A的不同特征值所对应的特征向量必垂直。
三、8%
请证明不同的特征值所对应的特征向量必定线性独立。
四、5%
设A为一n阶方阵，且特征值分别为λ1、λ2、...、λn 。今定义A的特征多项式为
f(λ)=det(A-λI)
请利用特征多项式证明下列事实。
n
(1)8% tr(A)= Σλi
i=1
n
(2)8% det(A)= Πλi
i=1
五、16%
┌ 4 2 -5┐
A= │ 6 4 -9│
└ 5 3 -7┘
(1)8% 求此三阶矩阵的特征值。
(2)8% 求每个特征值所对应的特征空间。
六、20% (多重选择题)
设B为一个四阶矩阵，已知B有四个特征值分别为-2、0、1、2。根据以上的资讯，请问下
列哪些叙述必定是正确的？
(a)N(B^TB)的维度是1
(b)rank(B^2 - I)=3
(c)det((B+I)^(-1)(B+3I)^T)=12
(d)(B^(2) + I)的反矩阵存在
(e) tr((B+I)(B+3I))=16
七、30%
┌ 0.2 0.4 0.3 ┐
A=│ 0.4 0.2 0.3 │
└ 0.4 0.4 0.4 ┘
(1)5% 请证明任意三阶马可夫矩阵必定含有特征值为1。
(2)5% 请求出此矩阵的所有特征值。
(3)10% 请对此矩阵做对角化。
(4)10% 请求 lim A^n=？
n→∞