※ 引述《carlow (卡萝)》之铭言：
: 举一个简单的例子 sec x的积分
: 现在的人可能觉得这个蛮标准的 但这个问题在十七世纪却是灸手可热的难题
: 有几个数学家都猜出了答案但都没法把证明写下来
: 连牛顿也知道这问题 不知道他有没有尝试证明就是
: 到了1668这问题才由巴洛用部分分式的方法解出来
: 很明显 这种问题不是光知道代入法就能解出来的
: 但是如果你有上课学到t=tan(x/2)这秘技的话 要积sec x就很简单了～
倒是不一定要用Weierstrass Substitution，虽然这个方法很强大
以下是不用Weierstrass，也不用一般微积分课本用凑的验证出来的作法:
∫sec(x) dx = ∫1/cos(x) dx
=∫cos(x)/cos^2(x) dx
=∫cos(x)/(1-sin^2(x)) dx
=∫1/(1-u^2) du (u = sin(x))
=∫[1/(1-u) + 1/(1+u)]/2 du
= (-ln| 1-u | + ln| 1+u | )/2 + C
= 1/2 ln|(1+u)/(1-u)| + C
= 1/2 ln|(1+sin(x))/(1-sin(x))| + C
= 1/2 ln|(1+sin(x))^2/(1-sin^2(x))| + C
= 1/2 ln|(1+sin(x))^2/cos^2(x)| + C
= 1/2 ln(|(1+sin(x))/cos(x)|)^2 + C
= ln(|(1+sin(x))/cos(x)|) + C
= ln|1/cos(x) + sin(x)/cos(x)| + C
= ln|sec(x) + tan(x)| + C
这里只用了三角函数常见代换法的处理方式 + 部分分式

推这个作法。不过我猜这应该就是1668那年的招式吧。不过最偷懒的作法是：分子分母同乘“sec(x) + tan(x)”。

猜答案然后微下去不就是证明吗