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(不知为何底下复制贴上的内文会少字,建议点连结来看内文 )
东亚第一本微积分课本（The First Calculus Textbook in East Asia）
国立台湾师范大学数学系洪万生教授/国立台湾师范大学数学系洪万生教授责任编辑
中国清朝学家善 (1811-1882) 在 1859 与英国传教士伟亚 (Alexander Wylie) 合作，
翻译密士 (Elias Loomis, 1811-1899) 的 Elements of Analytical Geometry and of
the Differential and Integral Calculus (1850)，中译版书名命为“代微积级”，强
调本书依序讲述“代（）”（解析几何）、“微（分）”与“积（分）”，“级”而上。
事实上，善在译序中即指出：“君密士合众之天算名家也。取代、微分、积分三术合为一
书，分款设题，较眉，嘉惠后学之功甚大。……是书先代次微分、次积分，由而难，阶级
之渐升。译既竣，即名之曰代微积级。”
此外，伟亚也在译序中，点出此书中译的脉络意义：“微分积分，为中土算书所未有，然
观当代天算家，如董方氏、项梅侣氏、徐君青氏、戴鄂士氏、顾尚之氏，暨君秋纫，所著
各书，其有甚近微分者，因用代式，或言之甚繁推之甚难，今特偕君译此书，为微分积分
入门之助。”上引文提及之天算家依序为董祐城、项名达、徐有壬、戴煦、顾观光以及善
，都是十九世纪中国清代学名家。过，他们的共同“足”，显然如伟亚所的，由于“用代
式”，因此，才会显得“言之甚繁，推之甚难”，从而可解析几何这一系统的可或缺。
这或许也解释何以伟亚推荐此书之中译，因为本书之前九卷，即是解析几何之内容，而这
当然是微积分的先备知。过，在本书中，英文原文中的analytical geometry（解析几何）
一概翻译为“代几何”。其次，微分有七卷（卷十到十）。其中，密士主要运用微系
(differential coefficient) 表示我们今日所谓的导 (derivative)：“函与变之比，俱
谓之微分，用ㄔ号记之。如戌＝天三，则得比ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 :
三天二。ㄔ天、ㄔ戌为天与戊之微分。后皆仿此。用表天与戌之变比，以一、四相乘，二
、三相乘则得ㄔ戌＝三天二ㄔ天，此显函戌之变比，等于三天乘变天之变比，以ㄔ天约之
得ㄔ天/ㄔ戌＝三天二。此显变之变比约函之变比，等于函之微系也。”
上述引文有必要解释或注解一下。善与伟亚将函 u=f(x) 中的u记作戌，x记作天；u=x3 记
作戌＝天三；微分记号 d“翻译”为汉字记号ㄔ，显然他撷取“微”字的部首“ㄔ”。因
此，“ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 : 三天二”即相当于“dx : du = 1 : 3×2”。还有，由于当
时的分之分子、分母之位置，恰好与目前习惯相反，亦即分子置于下，分母置于上，于是
，du/dx 才会译为ㄔ天/ㄔ戌。
根据上述引文，针对任何一个函 y=f(x) 而言，密士先求出dy=f(x)dx，然后，再得到
dy/dx＝f(x)。如此一，他可以避开导之定义中，[f(x+h)-f(x)]/h 之分子与分母同时趋近
于的证难题。后者待 外尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）所导的柏学派之分析算术化
(arithmetization of analysis)，而提出极限的 ε-δ 定义，是无法解决的。在1872，
外尔斯特拉斯的徒弟汉内（Heine）在师的上课笔记中，总结微积分的严密化工作。
密士拥有LL. D（法学博士），出版这一本教科书时，正担任约市大学的学与自然哲学教
授 (Professor of Mathematics and Natural Philosophy, the University of the
City of New York)。过，当时美国仍然是国际学社群的边陲地带，大学教师的主要著作都
是似微积分这种大学教科书。尽管如此，本书英文原著迄至1859为止，已经出版到第10版
，足它相当受到大学教师的青睐。密士也承认本书“并非为学家、也是为那些拥有特殊天
分或是学的爱好者，而是为广大中等资质的大学生而写。”这或许也是本书英文原版畅销
的原因之一吧。其实，就今日标准而言，本书除题比较“套”之外，体与内容还是蛮适合
充当非学、物主修的大学生之微积分教材。
本书还有一个特色，那就是：相对于七卷的微分内容，积分只有卷！〈积分一总〉一开始
内容如下：“积分为微分之还原，其法之要在别微分所由生之函，如已得天二之微分为二
天ㄔ天，则有二天ㄔ天即知所由生之函为天二，而天二 即为积分。已得微分所由生之函
为积分，而积分或有常附之，或无常附之，既能定，故式中恒附以常，命为口丙，口丙或
有同或为０，须攷题乃知。本之视微分函小较之一，小较并之，即成函，故微分之左系一
禾字，指欲取微分之积分也。如下式 禾二天ㄔ天＝天＋口丙。氏，今西国天算家大用，而
惟用此禾字取其一览然也。”
在上述引文中，善与伟亚将Leibniz翻译为“来本之”，同时，积分记号∫（一个长的S）
则译为“禾”，它取自“积分”的积字之偏旁部首“禾”。密士指出：尽管“今西国天算
家大用”“氏”(philosophy of Leibniz)，“而惟用此禾字”，“取其一览然也”。在
这个脉络中，密士未曾独地定义定积分 (definite integral)，而是通过定积分
(indefinite integral) 定义，这省掉了定义定积分的麻烦，值得称道。