课程名称︰管理数学
课程性质︰必修
课程教师︰黄以达
开课学院：管理学院
开课系所︰财务金融学系
考试日期（年月日）︰(Take Home) Due to 101.12.04
考试时限（分钟）：X
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
一、40% (模型适合度问题)
已知平面上有n个相异点，且至少有两个点的x座标不同。假设他们的座标分别为(xi,yi)，
i=1,2,....,n，其中n≧2。今假设两模型如下：
抛物线模型 X1β1=Y
直线模型 X2β2=Y
┌1 x1 (x1)^2 ┐ ┌1 x1┐ ┌ y1 ┐
其中X1= │1 x2 (x2)^2 │ ， X2= │1 x2│ ， Y= │ y2 │
│... ... │ │....│ │....│
│... ... │ │....│ │....│
└1 xn (xn)^2 ┘ └1 xn┘ └ yn ┘
┌ a ┐ ┌d┐
以及β1= │ b │，β2= │ │
│ c │ └e┘
└ ┘
令H1是用X1所建构的投影矩阵，H2是用X2所建构的投影矩阵。假设我们使用最小平方法去
获得两模型各自的参数估计，请回答下列问题。
(1)8% 请证明直线模型的残差总和以及抛物线模型的残差总和必定皆为零。
(2)8% 请证明直线模型的残差平方和减去抛物线模型的残差平方和等于 Y^T(H2-H1)Y
(3)8% 请证明 H1H2=H2 以及 H2H1=H2。
(4)8% 请证明 (H1-H2)为一良好定义的投影矩阵。
(5)8% 请证明 Y^T(H1-H2)Y必定是≧0。
二、15% (管理学应用)
假设你是某间保险公司的精算师，公司要你做风险管控，而你根据公司过去的资料，发现
每年十二月的理赔案件金额，约服从指数分配，期望值为3(单位:万元)，而理赔案件的次
数约服从Poisson分配，期望值为4。于是你写成数学如下:设Xi为每件理赔金额，N为理
赔件数，其分别满足 iid
Xi∣N =n ~ Exp(1/3)， N~Poi(4)
(1)5% 请计算十二月的理赔总金额之期望值 E(X1+X2+....+XN)=?
(2)10% 请计算十二月的理赔总金额之变异数 Var(X1+X2+...+XN)=?
三、15% (行为财务应用)
有一种新奇的拍卖方式，参加者每人将自己的出价金额写在纸上，以记名的方式投入一黑
箱，在所有人皆放入自己的纸条后，最后再开箱唱名，由出价最高者得标，但是却以次高
价付款，身为拍卖会顾问的你，想要了解得标者的付款金额的随机现象，因此你作了以下
的数学假设:
设Xi为每人出价金额(单位:千万)，Y为得标者付款金额，并假设每人出价金额彼此独立
且来自于相同的均匀分配U(0)，今共有十人参与投标。
(1)5% 请问的标者的付款金额可用统计学上的哪个统计量做描述？
(2)5% 请求出Y的机率密度函数，并说明此为哪个著名的机率分配。
(3)5% 请求出Y的期望值。
四、15% (算法应用)
吕育道教授曾在财务算法的课程中介绍一种快速模拟出来自标准常态分配的随机样本
的方法，方式如下:
“先用电脑模拟12个来自均匀分配(0,1)的随机值，紧接着将他们的和再扣掉6则你就会
得到一个很像是标准常态分配中所随机抽取的一个数值。”
(1)5% 请解释这种方法有何先天上的限制，也就是与常态分配不符合的地方？
(2)10% 请说明这种方法的理论想法是什么?为什么得出来的资料会接近标准常态分配的行为
五、15% (物理学应用)
假设某一气体分子的速度可用三个独立且服从常态分配的随机变量所描述，即
iid
V=(X1,X2,X3) 其中 Xi ~ N(0,σ^2) , i=1,2,3
今有一学者想研究此分子的速度大小，于是他想要求出V的范数之机率密度函数，故他定义
Y=∥V∥=√(X1^2+X2^2+X3^2)
(1)3% 设 W~ χ^2 (即自由度为3的卡方分配) ，请求出一常数c值使得F (y)=P(W≦c)
(3) Y
(2)3% 根据上一小题的提示，请求出Y的机率密度函数。