课程名称︰管理数学
课程性质︰必修
课程教师︰黄以达
开课学院：管理学院
开课系所︰财务金融学系
考试日期（年月日）︰101.09.21
考试时限（分钟）：50
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
Part A (60%) (By TAs)
一、15%
Find the inverse of A by the Guass-Jordan method starting with the augmented
matrix [A│I], given ┌2 -1 0┐
A=│-1 2 -1│
└0 -1 2┘
二、15% (True or False)
Assume that A and B are 3*3 matrices, state whether the following are true or
false. (You do not need to give a reason.)
(a) If columns 1 and 3 of B are the same, so are columns 1 and 3 of AB.
(b) If columns 1 and 3 of A are the same, so are columns 1 and 3 of AB.
(c) If rows 1 and 3 of B are the sane, so are rows 1 and 3 of AB.
(d) If rows 1 and 3 of A are the same, so are rows 1 and 3 of AB.
三、20%
A=┌1 a┐, given abc≠0 and c-ab≠0 Express A^-1 in terms of 3 elementary
└b c┘
matrices. (The actual inverse is not required for full marks)
四、10% (True or False)
If A and B are n by n symmertic matrices, which of these matrices are certainly
symmetric? (You do not need to guve a reason.)
(a) A^5
(b) A^2-B^2
(c) (A+B)(A-B)
(d) (A-B)^2
Part B (70%)
五、10% 设A为一方阵，请证明下列命题：
(1)5% 若A的反矩阵存在，则 (A^-1)^T=(A^T)^-1
(2)5% 若A为对称矩阵，且反矩阵存在，则A的反矩阵亦为对称矩阵。
六、10% 设H=X(X^TX)^(-1)X^T，其中X为一个n*p的矩阵，且X^TX的反矩阵存在。令I为
n阶单位矩阵，请证明：
(1)5% H^2=H
(2)5% (I-H)^2=I-H
七、25% ┌1 2 0 1┐
已知 A=│2 4 1 4│，请回答下列问题：
└3 6 3 9┘
(1)10% 请求出此矩阵的列已简化梯形矩阵。
(2)5% 请问此矩阵有几个有效的pivots。
(3)10% 对于所有可能的b向量，此四元一次联立方程组Ax=b是否一定有解？
请说明你的理由。
八、10% 设A、B与C皆为三阶方阵，已知：
→
┌3 4 5┐ ┌ v1┐ → →
A=│6 8 10│， C=│ →│，且 AB=C 其中 vi 为C矩阵的第i个向量，且vi不
└5 12 13┘ │ v2│
│ →│
└ v3┘
等于零向量，请回答下列问题：
→ →
(1)5% 请证明：v1一定与v2平行。
→ →
(2)5% 请举一实例说明：v1有可能与v3平行。
┌ x ┐ ┌0┐
九、15% 设A为三阶方阵，且已知此线性方程组： A│ y │=│1│ 其解的行为是有解并
└ z ┘ └0┘
且只有一解，请问根据这样的资讯，你可以确定下列哪些叙述是正确的？若正确请说明
你的理由，若错误请举一反例。
(1)7% 三个行向量不可能同时平行。
(2)8% 三个行向量不可能同时共面。