课程名称︰管理数学
课程性质︰必修
课程教师︰黄以达
开课学院：管理学院
开课系所︰财务金融学系
考试日期（年月日）︰102.01.15
考试时限（分钟）：480
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
Part A (20%)
1. (2%)
_____在18岁时于Moscow State University就读。大学入学的时候，一开始读的不是数
学，反而是对历史颇为倾心。某一次他写了一篇很出色的历史学的文章，他的老师看完
，告诉他说在历史学里，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行，于是
他就问老师说什么地方需要一个证明就行了，老师回答是数学，于是从此开始了他数学
的一生。他时常以自己强健的体魄为傲，在七十岁的时候，为了证明此点仍然在冬天冰
冷的河里游泳。请问空格中最有可能的数学家是谁？
(1) 李亚普诺夫 (2) 马可夫 (3) 克莫哥洛夫 (4)柴比雪夫 (5)棣美弗
2. (1%)
右方这位人物，其家族曾遭到迫害，于是1938年时只好逃离自己的家园至美国，请问他
是我们曾经介绍过的哪位数学家？
3. (2%)
请问在数学研究中，所谓的彼德堡风格，指的是什么样的态度？而开创这样风格的先驱
者是哪一位数学家？
4. (2%)
请问若想在本世纪举办大数法则三百周年庆祝活动，应该于何年举办？而上次举办两百
周年庆祝活动的发起人其真正动机是什么？
5. (1%)
中央极限定理的最初版本是由哪两位数学家所建立的？
6. (2%)
何谓政治学第一基本定理？ 何谓Stigler命名法则？
7. (2%)
数学家棣美弗曾说：“我靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很
紧，于是就将这部巨著拆开，当我教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，
不久便把这部书给学完了。”请问这本让他爱不释手的书籍名是什么？而英国诗人波普
(Alexander Pope)在他的著作《人的赞礼》中，写出了哪段话对于棣美弗的数学能力表
示敬意？
8. (2%)
音乐是支持灵魂的能量泉源。请问本学期期中考时管数所分享的歌曲的歌名为何？以及
常态分配之歌的原文歌名为何？
9. (2%)
下面是关于机率理论的五本巨著，请按照其诞生年代，由远至近排序。
(1)《分析机率论》 (2)《序实分析》 (3)《机会的学说》
(4)《论赌博中的机会》(5)《平均数的机误》
10. (2%)
凄美的爱情故事总是令人动容，李亚普诺夫为了她的妻子而殉情，请问他妻子的死因为何
正所谓千里姻缘一线牵，马可夫与瓦里瓦契耶瓦雅结为伉俪，在还没结婚前，新娘的母亲
与马可夫一家人有何渊源？
11. (2%)
在导演卢贝松所拍摄的“圣女贞德”中，其中有一幕的对白如下：黑衣人询问贞德：“
妳怎么知道上帝给你使命？上帝何以自己不能做信使，一定要依赖妳？”当贞德回答：
“因为风、云、天地、钟声，”但又自我疑惑著，最后，她肯定答：“是剑，在草原上
的一把剑”。请问贞德之所以这样判断，其根据的信仰强度最有可能是哪一种？
(1)演绎法 (2)归纳法 (3)统计学 (4)历史重演 (5)凡是没有偶然，有的只是必然
Part BI (20%) (Linear Algebra I)
B1、2% ┌ 2 1 -3┐
A=│-3 1 4│
└-1 1 -2┘
(1)1% 求矩阵A秩的大小 (2)1% 求矩阵A的行列式值。
B2、4% ┌1 2 1 ┐
B=│0 1 2 │
└-1 2 -2 ┘
(1)2% 求B矩阵的古典伴随矩阵 (2)2% 求B的反矩阵。
B3、4%
x+y+3z=7
x-y-z=1
y+2z=3
(1)1% 此方程组解的行为为何？ (2)3% 找出所有解。
B4、2% ┌1 -8┐
C=└0 3┘
(1)1% 请求出C矩阵的所有特征值 (2)1% C是否为正定矩阵？
B5、4%
┌0.25 0.18 0.27┐
D=│0.18 0.16 0.03│
└0.27 0.03 0.36┘
请问D矩阵是否可能为某三维随机向量之共变异数矩阵？请写出你的判断依据及理由。
B6、4%
┌16 3 4 4┐
F= │4 5 3 3│
│4 3 6 4│
└4 3 4 7┘
请对F矩阵做平方根分解。
Part B II (60%) (Linear Algebra II)
B7、3%
已知两个三阶实矩阵A与B，其满足下列关系： AB= -BA
请问是否可以推论至少有一个矩阵的反矩阵不存在？请写出你的判断理由。
B8、3%
请证明实对称且正定的矩阵，其反矩阵必定也是对称且正定的。
B9、4%
设A为一个四阶矩阵。已知A有四个特征值分别为-3,0,2,3。根据以上的资讯，
请填入正确的数字？
1. dim(N(AA^T))=?
2. rank(A^2+A+I)=?
3. det((A-I)^-1(A+2I)^T)=?
4. tr((A+I)(A+3I))=?
B10、6%
考虑右边这个二元二次方程式: 52x^2-72xy+73y^2-160x-130y-25=0
(1)2% 请判断此方程式的几何图形。
(2)2% 请求其正焦弦长。
(3)2% 若为抛物线，请求其顶点座标；若为双曲线或椭圆，请求中心座标。
B11、3%
┌0.6 0.9┐
设A=└0.4 0.1┘，请求 lim A^k= ?
k→∞
B12、7% 设 A= ┌1 2┐
└3 6┘
(1)3% 请将A作SVD分解。
(2)2% 请求出A的Pseudoinverse，令之为A’
(3)2% 设x∈RS(A)，y∈CS(A)，请问下列哪些式子会成立？
(a) AA'x=x (b) A'Ax=x (c) AA'y=y (d) A'Ay=y
B13、4%
已知一双变量函数如右： f(x,y)=3x^3+y^2-9x+4y
(1)2% 求此函数所有的临界点。
(2)2% 请判断每个临界点的行为，是鞍点还是何种相对极值点？
B14、4%
设A为一个n阶实数方阵，我们定义两新矩阵B与C：
B=0.5(A+A^T)； C=0.5(A-A^T)
(1)2% 请证明x^TCx=0
(2)2% 请证明A与B的正定性相同。
B15、3%
以前我们曾经证明过下面这三个事实：
1. rank(A)=rank(A^TA)
2. rank(A^T)=rank(AA^T)
3. rank(AB) min(rank(A), rank(B))
请利用这三个事实，去证明线代第一基本定理rank(A)=rank(A^T)
B16、4%
设矩阵P满足P^T=P、P^2=P以及rank(P)=r，请回答下列问题：
(1)1% 请证明tr(P)=r
(2)3% 请证明存在一矩阵A，使得P=A(A^TA)^(-1)A^T
B17、5%
请叙述 Ida Lemma并给予证明。
B18、2%
~ ~
令X～Np(μ,Σ)，假设Σ之特征值从大到小分别为λ1到λp。并假设qi为λi所对应之特征
~
向量。令Yi=qi^T X ，请证明 Var(Yi)=λi。
B19、12%
已知一含截距项之线性回归模型如右： Y = X β + ε 。
n*1 n*(p+1) (p+1)*1 n*1
其中 X 为常数资料矩阵，并只考虑行向量线性独立的状况。而β 为关心
n*(p+1) (p+1)*1
iid ︿
的参数向量，并假设误差向量为ε ～ N(0,σ^2) 。设β之最小平方估计式β ，并
n*1 LSE
︿ ︿ ︿
加以定义Y = X β 以及残差向量e=Y - Y ，并将残差平方和定义为SSE，而将SSE除以
n-(p+1)则定义为MSE，试回答下列问题：
︿
(1)2% 请利用向量的微分公式，求出β 。 (需验证二阶条件)
LSE
︿ ︿
(2)2% 请证明 Y 与 e 统计独立，并图示这三个向量 Y、Y、e的几何关系。
(3)2% 请说明 1/σ^2 * e^Te 为何是一个合理的关键式？其机率分配为何？
(4)2% 请证明MSE可为一个未知参数σ^2的一致估计式。
(5)4% 在简单线性回归模型中，β=(β0, β1)^T ，请推导出(β0, β1)^T 在95%信心
水准下之联合信赖区间。请说明其联合信赖区间的几何图形为何？你的理由是什么？
Part C (50%) (Statistics)
C1、2%
设两独立随机变量X与Y，其中X~N(1,σ^2)，Y~N(2,σ^2)，请问X+Y与X-Y会不会统计独
立？若是请证明，不是请说明原因。
C2、6%
请叙述中央极限定理，并以特征函数的方式证明之。
C3、6%
设 iid
{Xi} n 为一组随机样本，即 Xi ~ N(μ,σ^2)。令样本变异数为Sn^2，定义如下：
i=1
n ─
Sn^2=1/(n-1)Σ (Xi-X)^2
i=1
(1)2% 请证明Sn^2为σ^2的一致不偏估计式。
─
(2)3% 请证明 X 与Sn^2统计独立。
─
(3)1% 请证明( X - μ)/(σ/√n)～T(n-1)
C4、4%
设两独立随机变量X与Y，其中X～Poi(2)以及Y～Poi(3)，并令Z=X+Y。
(1)3% 请求X∣Z=n 的机率质量函数
(2)1% Var(X∣Z=n)=?
C5、4%
n m iid
设{Xi}i=1 与{Yj}j=1 为两组独立的随机样本，其中Xi ～ N(μx,σx^2)
iid
Yj～ N(μy,σy^2)，其中μx与μy均未知。
(1)2% 请求出参数比值σx^2/σy^2 的一个合理关键式。
(2)2% 请建构出95%信心水准下，参数比值σx^2/σy^2的信赖区间。
C6、6%
iid ︿
设Xi ～ Ber(p)，并定义 p 为样本比例数。
︿ ︿ d
(1)2% 请求 p 之极限分配，即√n(p - p)→N(a,b)，求其中常数a,b的大小。
(2)4% 若在大样本的假设下，你会如何修改上式，进而求出p之一合理的关键式？而你所用
到的定理是什么？
C7、4%
设X与Y为两随机变量，且各自的二阶动差皆存在，请证明其相关系数∣ρxy∣≦1。
C8、6%
~ ~
设 X ～Np(μ,Σ)，请回答下列问题：
(1)3% 请写出多元常态分配的定义(含退化型)以及求其动差生成函数。
(2)3% 请证明多元常态分配经线性变换平移后依旧是多元常态分配。
C9、6%
~
设X=(X,Y)^T为一随机向量且服从二元常态分配如下：
f~ (x.y)=1/(6π√7)exp{-8/7 (x^2/16 - 31x/32 + xy/8 + y^2/9 - 4y/3 +71/16)}，
X
x,y∈R
~
(1)3% 请求出此分配的期望值向量μ、共变异数矩阵Σ以及相关系数ρ
(2)3% 请利用上式求下列条件期望值与条件变异数的大小。
(i)1% E(Y∣X=4)=? (ii)2% Var(Y∣X=4)=?
C10、6%
我们在做线性回归模型的时候，都会假设样本资料都是行向量线性独立的情况。某一研
究者好奇这是一个很容易发生的事情吗？于是他考虑下列问题：
有两个色正四面骰，一红一白，并各标上1~4号，每次投掷两颗骰子记录其大小，设其中
Xi为投掷第i次红骰点数，Yi为投掷第i次白骰点数，投掷n次，我们可以利用Zi建构一n*2
矩阵A，其中Zi表示第i个向量。
(1)4% lim P(rank(A )=2)=?
n→∞ n*2
(2)2% 如果你是这位研究者，从上式的结果中，你得到了什么样的启示？