课程名称︰管理数学
课程性质︰必修
课程教师︰黄以达
开课学院：管理学院
开课系所︰财务金融学系
考试日期（年月日）︰101.11.30
考试时限（分钟）：180
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
台大财金系 第二次期中考试
Part A (15%)
A1、1%
以下关于巴契里耶(Bachelier)生平的叙述，正确的有几项？
i. 为德国经济学家兼数学家。
ii. 当年的博士论文极度优异，并获得特优的殊荣。
iii.曾发表，波动幅度与时间的区间长短程比例关系。
iv. 论文曾一度遗失，直到1950年代才被萨谬尔意外在纽约大学发现。
(A)皆不正确 (B)一个正确 (C)两个正确 (D)三个正确 (E)皆正确
A2、1%
请问右方这位最有可能是下列哪位重要人物年轻时的照片？
(A)费雪 (B)笛卡尔 (C)巴契里耶 (D)柯西
A3、1%
“我研究这六十年来的美国股价运动，我发现年平均的股价波动幅度是月平均股价波动幅
度的3.5倍。”请问这是哪一位学者利用美国资料验证了巴契里耶对于股价波动的理论
看法？
A4、1%
某一台大研究生曾经发表他对于台大学生与星座的关系，他指称，风象星座的人比较容
易上台大，而在一般的星座书上写着，风象星座的人比较具有艺术气息，且极富创造力。
请问：下列哪些重要的学者是风象星座的？
(Hint:风象星座为水瓶、双子与天秤)
(A)费雪 (B)笛卡尔 (C)巴契里耶
A5、1%
解析几何的生日是哪一天？
A6、1%
请写出笛卡儿的墓志铭。
A7、1%
笛卡儿可以说是现代科学的催生者。牠的《方法导论》一书中有三个附录，为何在其第三
篇附录，对后世的影响最大？理由是什么？
A8、1%
根据问题集中的记载，以下关于笛卡儿的生平叙述，正确的有几项？
i. 他的所有著作大部分都是在后期定居瑞典这20年中写下来的。
ii. 曾获得法律学位。
iii.著名的心脏线，是他寄给克莉丝汀中的第十四封情书之中。
iv. 早年时，习惯早上10点才起床。
(A)皆不正确 (B)一个正确 (C)两个正确 (D)三个正确 (E)皆正确
A9、1%
根据问题集中的记载，笛卡儿他从逻辑学、几何学、和代数学中发现了4条规则：
1.绝不承认任何事物为真，对于我完全不怀疑的事物才视为真理。
2.必须将每个问题分成若干个简单的部分来处理
3.??????
4.我们应该时常进行彻底的检查，确保没有遗漏任何东西。
请问遗失的片段是什么？
A10、1%
根据问题集中的记载，以下关于柯西的生平叙述，正确的有几项？
i. 微积分严格化的第一人。
ii. 诞生的时间正逢法国大革命。
iii.由于宗教与政治信仰，他曾站在科学院的立场对抗天主教耶稣会。
iv. 他相信人有灵魂。
(A)皆不正确 (B)一个正确 (C)两个正确 (D)三个正确 (E)皆正确
A11、1%
以下关于罗纳德●爱尔默●费雪爵士的生平叙述，正确的有几项？
i. 在家中排行老大。
ii. 曾被誉为“皮尔森最伟大的继承者”。
iii.在爱情上，费雪与一位足足小他10岁左右的女孩艾琳结婚。
iv. 1925年，他的第一本书出版，书名为《实验设计》，打下了基础。
(A)皆不正确 (B)一个正确 (C)两个正确 (D)三个正确 (E)皆正确
A12、1%
除了变异数分析以外，请写出两个费雪发明的统计概念。
A13、1%
右图中的彩绘方格，是用以纪念费雪发明的变异数分析方法中的拉丁方阵。若想要亲自
欣赏，请问要到哪间大学去参观？(Hint:此为费雪的母校)
A14、1%
费雪在大学求学时期，由于对统计学的兴趣，研读了当时两位著名的统计学家所发表的
论文，一位是皮尔森(Karl Pearson)，而另一位就是发明著名的T分配的学者，请问该位
统计学家的名字是什么？
A15、1%
一次大战爆发，费雪也希望能够加入军队、投入沙场，为什么队最后他执行了他的第二选
择，也就是放弃从军的念头改投入统计方面的工作？
Part B (85%) (Linear Algebra)
B1、3%(单选题)
水水与浩浩两人有次在上管数课时，谈论各自对于线性变换的看法。
2 2
水水说：不存在一种线性变换 T:R →R ，可将(2,6)→(0,1)以及(1,3)→(1,0)。
2 3
浩浩说：存在一种线性变换T:R →R ，可将(1,2)→(1,0,0)以及(1,3)→(0,1,0)以及
(2,7)→(0,0,1)。
根据他们俩人的说法，下列选项何者正确？
(1)只有水水说对 (2)只有浩浩说对 (3)两人皆说对 (4)两人皆说错了
B2、3% (多重选择题)
3 3 a 3
假设T:R → R 为一变换，以及v={b}∈R ，请问下列哪些可以为一线性变换？
c
a
(1) T(v)= v/∥v∥ (2) T(v)={ 2b } (3) T(v)=a+b+c (4) T(v)=max(a,b,c)
3c
B3、3% (多重选择题)
假设 T:M (R) → M (R)，其中T(A)=A^T ∀A∈M (R)，请问下列叙述有哪些是正确的？
n*n n*n n*n
(1) 此T满足线性变换的条件。
(2) T(T(A))=A
(3) Ker(T)=zero metrix
(4) 存在非零矩阵A∈M (R) ，使得T(A)=-A
n*n
B4、4% (多重选择题)
设A为一个m*n的矩阵。请问下列叙述哪些是正确的？
(1) N(A^T)= N(AA^T)
(2) dim(RS(A)) = dim(CS(A^TA))
(3) N(A)与CS(A^TA)互为正交补集
(4) RS(A)=RS(A^TA)
B5、4% (多重选择题)
请观察下列这个五阶的矩阵，请问那些叙述是正确的？
┌a11 a12 a13 a14 a15┐
│a21 a22 a23 a24 a25│
A= │ 0 a32 0 a34 0 │ aij∈R，aij≠0
│ 0 a42 0 a44 0 │
└ 0 a52 0 a54 0 ┘
(1) A的行列式值必不为零。
(2) Ax=0必定是无限多解。
(3) A^2一定是 singular矩阵。
B6、3% (Cloze)
Suppose the product of A and B is the zero matrix: AB=O. Then the (1)
5*7 7*9
space of A contains the (2) space of B . Also the (3) space of B
5*7 7*9 7*9
contains the (4) space of A . Thus, the sum of rank(A) and rank(B) is at most
5*7
(5).
(1) a. column b. row c. null d. left null
(2) a. column b. row c. null d. left null
(3) a. column b. row c. null d. left null
(4) a. column b. row c. null d. left null
(5) a. 5 b. 6 c. 7 d. 9
B7、8% (秩相关的证明)
设A为一个m*n大小的矩阵，B与C分别为m阶与n阶方阵且反矩阵皆存在。
(1)4% 请证明rank(A)=rank(A^T)=rank(AA^T)=rank(A^TA)
(2)2% 请证明 rank(BAC)=rank(A)
(3)2% 若进一步假设A的行向量彼此线性独立，今定义P=A(A^TA)^(-1)A^T
请证明 rank(P)=tr(P)=n
B8、6% (行列式相关的证明)
设A、B为两个n阶方阵，请证明下列两个事实。
(1)3% ∣AB∣=∣A∣∣B∣
(2)3% ∣A∣=∣A^T∣
B9、8% (最小平方法问题)
平面上有四点座标分别为(1,1)(4,4)(9,5)(16,6)，吾人想找一根式函数
y=a+b√x去通过此四点。
(1)1% 请将此问题转成等价的线性方程组问题，并说明为何无解。
(2)5% 请求出a,b的最佳近似解。
(3)2% 请求出残差平方和。
B10、6% (Haar Matrix)
┌1 1 1 1┐
H=│1 -1 1 -1│
│1 1 -1 -1│
└1 -1 -1 1┘
(1)3% Find H^-1
(2)3% Write v=(7,5,3,1)^T as a linear combination of the columns of H.
B11、8% (Gram-Schmidt 以及 QR分解)
┌2 0 3 ┐
A=│4 1 1 │
│5 2 -1│
└2 0 1 ┘
(1)4% 请利用Gram-Schmidt，求出A的行空间中的一组标准正交基底。
(2)4% 承上题，请求出对应的QR分解。
B12、6%(余因子与伴随矩阵)
┌0 5 0 -1 0┐
│5 -3 1 4 0│
A=│-7 8 3 5 2│
│0 9 -4 2 0│
└0 2 0 3 0┘
(1)3% 请求出 det(A)。
(2)3% 请求出 (A^-1)2,5的值。 (the (2,5) entry of A^-1)
B13、4% (线性相依时正规方程式之解的行为) m
已知一线性方程组为Ax=b。其中A为m*n矩阵，b为R 空间中的一个向量。
(1)2% 若A的行向量并非彼此线性独立，请问正规方程式的解的行为可能为何？
(a) 无解 (b) 唯一解 (c) 无限多解
(2)2% 承上题，请写出你判断的理由及根据。
B14、6% (正交分解定理)
n ⊥
假设S为R 内的一个子空间，且维度为m，并设S 为S的正交补集。
n
(1)3% 请证明任何在R 内的向量x，皆存在唯一的一种分解方式:
⊥ ⊥ ⊥
x= s + s ，其中s∈S，s ∈ S (Hint:利用投影矩阵)
4
(2)3% 设S={(x1, x2, x3, x4)^T∈R ∣x1+2*x2-2*x3-x4=0 } 令x=(1,2,3,4)，请将x作
⊥ ⊥
正交分解，求出s与s 使得 x= s + s 。
B15、13% (模型适合度问题)
已知平面上有n个相异点，且至少有两个点的x座标不同。假设他们的座标分别为(xi,yi)，
i=1,2,....,n，其中n≧2。今假设两模型如下：
抛物线模型 X1β1=Y
直线模型 X2β2=Y
┌1 x1 (x1)^2 ┐ ┌1 x1┐ ┌ y1 ┐
其中X1= │1 x2 (x2)^2 │ ， X2= │1 x2│ ， Y= │ y2 │
│... ... │ │....│ │....│
│... ... │ │....│ │....│
└1 xn (xn)^2 ┘ └1 xn┘ └ yn ┘
┌ a ┐ ┌d┐
以及β1= │ b │，β2= │ │
│ c │ └e┘
└ ┘
令H1是用X1所建构的投影矩阵，H2是用X2所建构的投影矩阵。假设我们使用最小平方法去
获得两模型各自的参数估计，请回答下列问题。
(1)3% 请证明直线模型的残差总和以及抛物线模型的残差总和必定皆为零。
(2)3% 请证明直线模型的残差平方和减去抛物线模型的残差平方和等于 Y^T(H2-H1)Y
(3)3% 请证明 H1H2=H2 以及 H2H1=H2。
(4)2% 请证明 (H1-H2)为一良好定义的投影矩阵。
(5)2% 请证明 Y^T(H1-H2)Y必定是≧0。
Part C (50%) (Probability Theory) (每个答案1.5分)
iid ─ n ─
C1、设Xi ~ Ber(p)，定义 X = Σ Xi ，求 X 的期望值与变异数。
i=1
C2、设X以失败次数所定义的负二项分配，即X~NB(r,p) ，求其mgf。
C3、X~HG(N,K,n) ，此为从有限母体中以抽出不放回的方式抽取n个物体，记录来自关心
群的个数，其中N为母体内元素个数，k为关心群个数，则在此超几何分配中，请问
有限母体校正因子的大小是?
C4、设X~Poi(λ)，求其mgf与偏态系数。
iid ─ n ─ ─ ─
C5、设Xi ~ Gamma(a,λ)，定义 X = Σ Xi ，请求 X - E(X)/√(Var(X)) 的变异数。
i=1
C7、设X~N(μ,σ^2) ，以及 Y~N(0,1) ，则kurtosis(X)-kurtosis(Y)=?
C9、请写出自由度为一的卡方分配的机率密度函数。
C10、设Xi~χ^2(i) ， i=1,2,...6 ，且{Xi}内的随机变量彼此统计独立。
Y=X1-X2+X3-X4+X5-X6 请求 Var(Y)。
C11、设X~Lognormal(0,1) ，请写出此对数常态分配的机率密度函数，并求出Var(X)
Skewness(X)。
C12、设X~Cauchy(0,1) 令Y=1/X ，求Y的cdf。
C14、有一函数描述如下 f(x)=c*x^4(1-x)^3, 0<x<1
则当c为多少时，可以使得此函数为一良好定义的机率密度函数。
计算题(必须附上计算过程)
C15、4% (管理学应用)
假设你是某间保险公司的精算师，公司要你做风险管控，而你根据公司过去的资料，发现
每年十二月的理赔案件金额，约服从指数分配，期望值为3(单位:万元)，而理赔案件的次
数约服从Poisson分配，期望值为4。于是你写成数学如下:设Xi为每件理赔金额，N为理
赔件数，其分别满足 iid
Xi∣N =n ~ Exp(1/3)， N~Poi(4)
(1)2% 请计算十二月的理赔总金额之期望值 E(X1+X2+....+XN)=?
(2)2% 请计算十二月的理赔总金额之变异数 Var(X1+X2+...+XN)=?
C16、6% (行为财务应用)
有一种新奇的拍卖方式，参加者每人将自己的出价金额写在纸上，以记名的方式投入一黑
箱，在所有人皆放入自己的纸条后，最后在开箱唱名，由出价最高者得标，但是却以次高
价付款，身为拍卖会顾问的你，想要了解得标者的付款金额的随机现象，因此你作了以下
的数学假设:
设Xi为每人出价金额(单位:千万)，Y为得标者付款金额，并假设每人出价金额彼此独立
且来自于相同的均匀分配U(0)，今共有十人参与投标。
(1)1% 请问的标者的付款金额可用统计学上的哪个统计量做描述？
(2)3% 请求出Y的机率密度函数，并说明此为哪个著名的机率分配。
(3)2% 请求出Y的期望值。
C17、4% (算法应用)
吕育道教授曾在财务算法的课程中介绍一种快速模拟出来自标准常态分配的随机样本
的方法，方式如下:
“先用电脑模拟12个来自均匀分配(0,1)的随机值，紧接着将他们的和再扣掉6则你就会
得到一个很像是标准常态分配中所随机抽取的一个数值。”
(1)1% 请解释这种方法有何先天上的限制，也就是与常态分配不符合的地方？
(2)3% 请说明这种方法的理论想法是什么?为什么得出来的资料会接近标准常态分配的行为
C18、6% (物理学应用)
假设某一气体分子的速度可用三个独立且服从常态分配的随机变量所描述，即
iid
V=(X1,X2,X3) 其中 Xi ~ N(0,σ^2) , i=1,2,3
今有一学者想研究此分子的速度大小，于是他想要求出V的范数之机率密度函数，故他定义
Y=∥V∥=√(X1^2+X2^2+X3^2)
(1)3% 设 W~ χ^2 (即自由度为3的卡方分配) ，请求出一常数c值使得F (y)=P(W≦c)
(3) Y
(2)3% 根据上一小题的提示，请求出Y的机率密度函数。