课程名称︰管理数学
课程性质︰必修
课程教师︰黄以达
开课学院：管理学院
开课系所︰财务金融学系
考试日期（年月日）︰101.10.19
考试时限（分钟）：180
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
管理数学 台大财金系 第一次期中考试
Part A (10%)
A1、1%
请将乔列斯基(Cholesky)，托马斯●贝叶斯(Thomas Bayes)以及阿贝尔(Abel)、欧几里
得、克莫哥洛夫(Kolmogorov)，五个人按照出生年代由远到近排序。
A2、1%
请叙述何谓几何上的平行公理。
A3、1%
请写出一句在问题集有提过的欧几里得的名言。
A4、1%
牛津大学自然历史博物馆中的欧几里得雕像，请问他是哪一手抱在胸前？
A5、1%
托马斯●贝叶斯是英国神学家、数学家、______家和哲学家。
A6、1%
最早使用机率的概念并写出文字的人是谁？
A7、1%
最早使用代数者个字眼是哪一国的文字？
A8、1%
Crelle曾经赞美阿贝尔为“当代最佳的___________”
A9、1%
阿贝尔在数学上闻名于世的研究是什么？
A10、1%
人的一生都在经历_______与______的过程之中，因此诞生了“数”。
Part B (90%)
┌ 1 2 0 1 ┐
B1、9% This question is about the matrix A= │ 2 4 1 4 │
└ 3 6 3 9 ┘
(1)3% Find the row reduced echelon form of A
(2)2% Find the row space of A
(3)1% How many independent columns of A ?
(4)4% Find a basis for the nullspace of A.
B2、6% This question is about the "basis" and "dimension".
(1)3% Is {2x^2-4x+1, 3x+1, 6x-1} a basis of P2(R) ? Explain why.
(2)3% Let S(n*n) be a space of any n by n real symmetric matrices. What is the
dimension of S(n*n)?
B3、8% This question is about "findinf solutions of linear system."
2x+2z+u=27
5x-y+6z+3u=65 ←→ Ax=b
4x+y+2z+2u=53
-7y+11z+2u=-3
(1) 1% Find A, x, b.
(2) 7% Find the complete solution of Ax=b
┌1 3 5 ┐
B4、8% This question is about some "factorization" of A =│3 18 18 │
└5 18 26 ┘
(1) 4% Find the LDU factorization of A.
(2) 4% Find the Cholesky(乔列斯基) factorization of A.
B5、5% LET P be a Permutation matrix. Show that P^-1 = P^T
┌ 1 1 1 ┐
B6、5% Find the inversr of A=│ 3 4 8 │
└ 2 3 4 ┘
B7、5%
┌2 -1 1 0 ┐
Let A = │-1 2 1 0 │
│1 1 2 0 │
└0 0 0 2 ┘
Is A postitive definite or semi-positive definite ?
Please write down your reason.
B8、5% Let X be an m*n natrix, and assume that (X^TX)^-1 exist.
Define H=X(X^TX)^-1X^T
(1)2% Show that H^2 = H.
(2)2% Show that H is symmetric.
(3)1% Calculate (I-H)*X=?
B9、4%
定义F(R)为一个收集所有实数值函数的集合，根据一般的函数加法与系数积，F(R)满足
一个向量空间的定义。今有一F(R)上的子集合定义如下：
S={sint, cost}
请问S内的向量彼此线性独立吗？请用数学说明。
B10、4%
假设A矩阵为一个m*n大小的矩阵，其秩的大小为r，关于此Ax=b线性方程组，回答下列问题
m
(1)2% 对于所有b∈R 皆会无限多解，则可推论 m,n,r 之间的关系为何？
m
(2)2% 对于所有b∈R 皆会唯一解，则可推论 m,n,r 之间的关系为何？
B11、5% m
设A为一个m*n大小的矩阵，并令其秩=r。今已知有一个b1∈R 使得 Ax=b1会无解，以及有
m
一个b2∈R 使得Ax=b2会唯一解。请用以上资讯回答下列问题：
m
(1)2% 请问是否存在一个b∈R 使得 Ax=b无限多解吗？ (回是或否即可)
(2)3% 请写出m,n,r三者之间的大小关系。
B12、8% 以下是关于阿贝尔群的几个问题：
(1)4% 请定义何谓阿贝尔群？
(2)4% 假设有一个C集合，已知里面只有虚数i这个元素，今在其上定义复数的乘法，若为
了使C满足一个群的定义，则必须至少再加入那些元素才行？
B13、8% 下列是来自 rank(AB)≦min(rank(A), rank(B))证明中的一段叙述。
(1)4%
Every columnof (AB) linear combimation of column vectors of ___1____.Therefore,
___2___ . Likewise, each row vector of (AB) is a linear combination of row
vector of ____3____, then we obtain ____4____.
1. (a) A (b) B
2. (a)CS(AB)ㄈCS(A) (b) CS(AB)ㄈCS(B) (c)CS(A)ㄈCS(AB) (d)CS(B)ㄈCS(AB)
此题的ㄈ是"包含(含等于)的意思"
3. (a) A (b) B
4. (a)RS(AB)ㄈRS(A) (b) RS(AB)ㄈRS(B) (c)RS(A)ㄈRS(AB) (d)RS(B)ㄈRS(AB)
此题的ㄈ是"包含(含等于)的意思"
(2)4% 请接续完成此证明。
4
B14、10% 设V与W皆为R 上的两个子空间。分别定义如下：
{2 0 2} {1 1 1}
V=span{0，3，0} ，W=span{2，5，0}
{0 0 1} {3 0 5}
{8 1 2} {4 -3 4}
(1)2% 设w1= (1 2 3 4)^T，请问w1有没有在V里面？
(2)8%请找出一组V∩W的基底。 (HARD！)
Part C (30%)
C1、2% 请叙述全机率定理。
C2、2% 请定义间断型随机变量。
C3、2% 请定义以下累加机率分配函数。
C4、2% 机率空间原本是三朵花，之后再开三朵花。请写出后面那三朵花的名称并简单说明
后三朵中每朵花的内容。
C5、3% (Ω,F,P)为一个机率空间，且令H为一个可能发生的事件，即P(H)>0 ，则对于所
有的事件A∈F而言，我们定义一新机率测度PH: PH(A)=P(A│H)
请利用三大机率公设去证明(Ω,F,PH)亦为一个良好定义下的机率空间。
C6、3% 设Ie(w)为定义在(Ω,F,P)中的E上的一个指示函数，请证明Ie(w)亦为一随机变量
C7、3%
今有一织带厂公司，甲、乙、丙三人竞选一经理职缺，公司内的员工都认为三人实力势
均力敌，难分轩轾。有日，甲趁著一次喝酒的聚会，甲问董事长，“能不能先透露经理
这个职缺最后是谁当选阿？”董事长说：不行啊！我总要卖个关子。”甲说：“那这样
好了，我不要猜我自己，我猜他们两人之中的一人有没有当选就好了。”董事长想想好
吧，应该是没有透露什么讯息吧！于是就答应了！甲说：“那乙有当选吗？”董事长说
：“没有喔！其实前任董事不喜欢他的做事风格，我们也是听他老人家的意思的！”请
问听完此番话之后，此时甲当选的机率为何？
C8、4%
以下是引用某一篇社论的报导“现今的台湾社会，普遍都有重男轻女的观念，所以许多夫妻都会希望至少生一个男生，因此导致现在的社会男女比例失衡越来越严重。”某位研究者好奇这样的说法是否正确？所以他作了以下的假设：
假设每对夫妻都可以自由的生育，生男生女的机率也假设为1/2，不考虑多胞胎，也不考虑太太年纪的问题，不考虑其他人工受孕的情况，若美剁夫妻遵守一个法则“至少升到一位男生才停止生育”，请问这个社会是不是男女失衡的情形会随着时间经过越来越严重？请说明你的看法并尽可能加以数学佐证！
C9、4%
某一生物研究加想了解老鼠有没有记忆力，于是他设计了一个迷宫，共有五个入口，但
只有一个入口可以走到出口，其他四个入口都会再次走回原点。假设每一条路径老鼠所
需要走完的时间都是一分钟。
(1)1% 假设老鼠会完全记忆，则我们认为老鼠会记得曾经走过的路径，所以牠如果走错回
到原点时，牠不会再选择同一个入口进入，请问此老鼠走出迷宫的期望时间是多少？
(2)3% 假设老鼠会完全失忆，则我们认为老鼠旺忘记曾经走过的路径，所以牠如果走错回
到原点时，牠选择任何一个入口进入的机率皆为0.2，请问此老鼠走出迷宫的期
望时间是多少？
C10、5%
赤名莉香与完治是一对在暧昧期的朋友，两人决定晚上在寿克斯小路约会，约定的时间是
晚上七点到八点之间，当时没有手机，因此连络不便，于是人性的玩至说：“是你想约
我的喔，所以如果我先到了我没看到人我就会走囉！”而莉香说：“小气鬼，那我最多
等二十分钟喔！二十分钟内没看到你的话就表示我两没有缘分，我就会马上离开。”已
知完治抵达的时间是随机的并均匀分布在这一小时内，但莉香在七点十五分到七点四十
五分抵达的机会是其他时间的两倍。请问：两人当天会在寿克斯小路见面的机率是多少？