课程名称︰财务工程
课程性质︰选修
课程教师︰黄以达
开课学院：社会科学院
开课系所︰经济系所
考试日期（年月日）︰2014年6月13日
考试时限（分钟）：14:20~18:20 左右
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
I. 测验是否会操作布雷克休斯公式 (10%)
一、 (5%)
You are given the folowing information on a European option:
(i) The spot exchange is 1.5 $/￡.
(ii) The strike price is 1.45 $/￡.
(iii) The continuously compounded risk-free rate in the US is 8% per annum.
(iv) The continuouly compounded risk-free rate in the UK is 10% per annum.
(v) σ = 0.15
(vi) The Black-Scholes framework holds.
Calculate the value of a one-yera European call option on the British
pound. (Hint: 0.__0_)
二、 (5%)
A stock has quarterly dividends, paid at the end of 3 months and 6 months
from now. You are given:
(i) The stock price is 42.
(ii) Quarterly dividends are 0.75.
(iii) The volatility of a pre-paid forward on the stock is 0.3.
(iv) A 6-month European put option is written on the stock with strike
price 40.
(v) The put option, if it is exercised, is exercised on the stock
ex-dividend.
(vi) The continuously compounded risk-free rate is 4%.
Calculate the put option's premium with BS formula. (Hint: _._2)
II. 测验是否会估计在几何布朗运动假设下风险值 (14%)
三、 (14%)
假设某股票之股价服从对数常态分配，且已知每周股票收盘价计算后如下:
15 15
Σ [ln (S / S )] = 0.02469 ； Σ [ln (S / S )] = 0.13985
t=1 t t-1 t=1 t t-1
(1)(6%) 年化的对数报酬率的期望值μ、波动度σ以及连续复利下的股价期望报酬率
α。记为μ hat、σ hat 以及α hat。(皆算到小数点第六位后四舍五入！)
(2)(4%) 乘上题，请以灾难水准为 q ，求出三个月股价条件期望值，即求出
0.01
0.01-level Conditional Asset Value。(设今日股价为 60。)
(3)(4%) 乘上题，请求出 0.01-Conditional VaR。
(请用百分率表示，算到小数点第二位后四舍五入！)
III. 测验是否知悉平赌过程的定义以及会做简易的检验 (10%)
四、 (10%)
假设 F 为定义在机率空间 (Ω, F, P) 上的资讯流 (filtration)，W 为一个标准布朗
t t
运动且可由 F 所观测到，请回答下列问题:
t
(1)(2%) 请写出平赌过程 (Martingale) 的定义。 (满足哪三项条件？)
3
(2)(3%) 请证明 G = 3(W ) - 3tW 为一个平赌过程。
t t t
(Hint: 可直接利用 E|W |^n < (无限的符号) 对于 n 属于 N 的事实。)
t
2
-(σ /2)t + σW 2 2 C
(3)(5%) 设 T > t，M = e t，已知 E(M |F ) = M x e ，请求出
t T t t
常数 C。
IV. 测验对于广义的一期模型定价的理解程度 (18%)
五、 (5%)
N
在一期模型中，假设有两个资产，其现货价格向量 S ，D 为一个 2x3 的 payoff
0
T
matrix，且存在一个状态价格向量Ψ = (Ψ , Ψ , Ψ ) ，请回答下列问题:
1 2 3
(1)(1%) 何谓 attainable contigent claim？
(2)(2%) 此市场有可能是 Complete Market？理由是什么？
T
(3)(2%) 请证明若 C is attainable，则 C 的现在公平价格必须为Ψ C。
六、 (5%)
N T (矩阵的意思)
承上题，设 S = (0.5, 0.5) ，D = [ 1 0 1 ] ，请回答下列问题：
0 [ 0 1 0 ]
T
(1)(1%) C = (C , C , C ) is attainable，C 所满足的限制式为何？
1 2 3
T T
(2)(2%) 请利用此题数据，证明若 C = (C , C , C ) is attainable，则 Ψ C
1 2 3
is independent of Ψ。
(3)(2%) 请利用此题数据，证明所有 Arrow-Debreu security 都无法被复制。
七、 (8%)
N
在一期模型中，其现货价格向量为 S ，D 为一个 3x3 的 payoff matrix，且唯一
0
T
存在一个状态价格向量 Ψ = (Ψ , Ψ , Ψ ) ，请回答下列问题:
1 2 3
(1)(2%) 请陈述资本资产定价第二定理。
(2)(3%) 设 p = Ψ / Ψ ，其中 Ψ 为无风险投资组合的建构成本。请证明
j j 0 0
{p , p , p } 满足风险中例机率测度。
1 2 3
N T [ 1 1 1 ]
(3)(3%) 承上题，设 S = (1, 5, 3) ， D = [ 3 4 8 ] ，请求出此市场的风险
0 [ 2 3 4 ]
中立机率 {p , p , p }。
1 2 3
V. 测验对于 Q-measure 以及 P-measure 之间的转换关系 (16%)
八、 (6%)
假设真实世界的股价运动服从几何布朗运动，则此股价运动可写成
P
dS = (α-δ)S dt + σS dW
t t t t
若将其转换成风险中立测度的话，我们可以改写成
Q
dS = (r -δ)S dt + σS dW
t t t t
其中 α 为连续复利下的股价期望报酬率、δ 为连续股利率、r 为无风险报酬率。
Q P Q P
(1)(2%) 请求出 W 与 W 的关系式。 (Hint: 其求出 dW = ? dt + ? dW )
t t t t
Q P
(2)(2%) 请利用下面资讯，精确的算出 W 与 W 的关系式中的数值
t t
P Q
d(lnS ) = 0.12dt + 0.4dW ; dS = aS dt + σS dW ; r = 0.08, δ = 0.02
t t t t t t
(3)(2%) 请利用下面资讯，求出半年期的价平卖权的公平价格。
P
dS = 0.12S dt + 0.3S dW 、 S = 40、δ = 0.04、Sharpe ratio = 0.25
t t t t 0
(请注意此小题与第二小题的资讯无关！) (Hint: 2.__6)
九、 (10%)
假设真实世界有两支皆无发放股利的股票，其股价分别服从几何布朗运动如下:
P P
dS = α S dt + σ S dW ； dS = α S dt + σ S dW
1 1 1 1 1 t 2 2 2 2 2 t
(1)(3%) 观察上式可发现，两支股票的随机项服从同一个布朗运动，请利用财务语言说
明这样的假设其背后可能的想法是什么？
(2)(2%) 请证明此市场若是遵行无套利法则，则必须两支股票的夏普指数须相同，即:
(α - r) / σ = (α - r) / σ
1 1 2 2
(3)(2%) 承上题，若在此市场中两股价所服从随机运动如下:
P P
(0.1T + 0.2W ) (0.125T + 0.3W )
S (t) = S (0)e T ； S (t) = S (0)e T
1 1 2 2
且此市场遵行无套利法则，请求无风险报酬率的大小。
(4)(3%) 假设此市场遵行无套理法则，且风险报酬率为 0.04，并已知
P P
d(lnS (t)) = 0.08dt + 0.2dW ； d(lnS (t)) = a*dt + 0.4dW
1 t 2 t
请求 a 的大小。 (请注意此小题与第三小题的资讯无关！)
VI. 测验对于随机微积分的简易操作 (8%)
十、 (8%)
以下是两个独立的小问题
t
(1)(4%) 请计算此伊藤积分 ∫ (s + W ) dW 的变异数大小。
0 s s
t/2
(2)(4%) 请利用伊藤公式以及结合伊藤积分的性质，去证明 e * sin(W ) 为一个
t
平赌过程。(用定义证明反而会很辛苦，建议不要如此操作。)
VII. 测验对于利率模型的操作 (10%)
十一、 (10%)
假设 r(t) 服从一个伊藤过程如下:
-0.5t -0.5t t 0.5(s-t)
r(t) = r(0)e + 0.05 (1 - e ) + 0.2∫ e dW(s)
0
t 0.5s
(1)(1%) 令 X(t) = ∫ e dW(s)，请问 dX(t) = ?
0
(2)(3%) 请问 X(t) 所服从的分配是什么？以及求出 E(X(t))以及 Var(X(t))。
(3)(3%) 已知 r(t) 所服从的随机微分方程 (SDE) 为:
dr(t) = (a + br(t))dt + σdW
t
请求出 a, b 以及σ。
(Hint: 先利用伊藤引理求出 r(t) 的 SDE 再去对应系数)
(4)(3%) 请求出 Var(r(t))。
VII. 测验利用测度转换的技巧来操作风险中立评价法 (10%)
十二、 (10%)
假设真实世界的股价运动以及债券价格运动表示如下:
P
dS = 0.15S dt + 0.3S dW ； dB = 0.03B dt
t t t t t t
现有一种欧式型奇异选择权的 payoff function 如下:
2 2
Φ(S ) = S - 230, if S >= 230; 0, otherwise
T T T
已知现在的股价为 15，以及连续股利率为 0.01，请回答下列问题：
Q
(1)(1%) 设W 为风险中立测度下 (Q-measure) 的标准布朗运动，请写出股价运动
t
在 Q-measure 下的 SDE。
(2)(9%) 根据 risk-neutral pricing formula，此奇异选择权的公平价格为:
-rT Q 2
C(0, S ) = e * E (S - 230) * I 2 )
0 T {S >= 230}
T
请求出半年期的奇异选择权价格。 (Hint: __._9，比 35 大比 45 小)
IX. 豆知识 (20%)
关于罗伯特希勒的五个问题
A. 请问 Robert J. Shiller教授所获得的是哪一间大学的经济学博士学位?
B. 请为他擅长运用数学分析和何种分析相结合的方法去研究投机市场市场中的股价
波动?
C. 罗伯特教授与艾伦威斯共同创办了 Case Shiller Weise, Inc.，请问此间公司是
一间研究何种投资标的行为的公司?
D. 希勒教授推出了一本面向大众读者的新书，只出在二十世纪九十年代末期，美国股
市指数大幅上涨是脱离实际经济运行的反常现象。结果美国股市发生了巨震，2000
年 3 月初，道琼斯指数在短短几周内由历史最高点记录 11700 点下跌了近百分之
多少? (四选一 10%, 20%, 30%, 40%)
E. 希勒教授向谁汇报了他对于股市的悲观预期，之后其便在一场演讲中首次使用了“
非理性预期”一词来表示他对当时股票市场情况的担心，此重要人物是谁? (此人曾
经写过“我们的新世界”一书)
关于布莱克的三个问题
F. 一本由佩里梅林 (Perry Mehrling) 撰写的布莱克传记，将布莱克比作性情古怪的
钢琴家 Glenn Gould，他弹奏的 J.S Bach 的《_______变奏曲》，改变了人们对巴
赫音乐的认识。用以比喻布莱克的观点也与当时主流相去甚远，却之后改变了人们
的看法。
G. 哪一位诺贝尔经济学奖得主曾写道:“金融一度被我当作周日的绘画消遣”?
H. 下列对于布莱克的描述，唯一错误的是?
(1) 毕生致力于实务上的研究 (2) 从未得过诺贝尔奖
(3) 曾放弃了芝加哥大学的终身教职 (4) 在未过世前曾经历过东亚金融危机
关于休斯的三个问题
I. 休斯曾参与创建一个 LTCM 的对冲基金，请问 LTCM 的全名是什么? (中英文皆可)
J. 请问此对冲基金总共营运了约几年?
K. 尔后麦轮休斯又与谁创立了铂韦资产管理公司? (此人所写的资本理论为国内财务
博士班必修)
关于莫顿的三个问题
L. 莫顿从小就对金融市场和交易有极大的兴趣，几岁时就买了他的第一个股票?
M. 成功人士通常都有早起的习惯，在加州理工学院学习时，他早上 __ : __ 就去一个
经纪公司进行股票和场外期权的交易，之后再去学院工作?
N. 人的一生会走学术研究，即有可能是受到一两位启蒙老师的影响。以莫顿为例，他
是在大学时修了哪一门课，练就出他的深厚数学技巧，对于其之后推导选择权极有
帮助?
综合题 (莫顿、休斯、布莱克)
O. 小时候曾经视力衰退的是谁?
P. 右方是哪一位学者年轻的样子? (无法提供图片)
Q. 并非在二次大战中出生的人是谁?
R. 于 1974 年发表论文《公司债的定价：利率的风险结构》是谁?
S. 父亲是著名的社会学家的是谁?
T. 可以确定曾沉迷于滥性和致幻药物的是谁?
X. 申论题 (10%)
在哲学家笛卡儿的世界里，他经由逻辑论证推论上帝是存在的，而在犹太教、基督教以
及伊斯兰教都有谈到所谓的最终大审判日。我们这一学期主要就是从一种无套利的角度
看定价的本质，于是我们引进了 Q-measure 去评价选择权的价格。那么如果笛卡儿是
对的，而且真的有所谓的大审判日，请问你认为祂的评论人的时候所使用的测度会是什
么? 而人的评价公式应该要怎么呈现? 当你花十分钟的时间思考这个问题之后，你会因
为预期心理而改变你之后的行为吗?
(依照用心度、类比程度、实话程度给予分数)