课程名称︰应用数学方法
课程性质︰数学系选修、数学研究所选修、应用数学科学研究所选修
课程教师︰薛克民
开课学院：数学系
开课系所︰理学院
考试日期︰2014年04月24日(五)，15:30-17:30
考试时限：120分钟
是否需发放奖励金：是
试题 :
National Taiwan University Spring Semester, 2014
MATH 7421 Method of Applied Mathematics
　　　　　　　　　　　　　　　　　Midterm
Date: 15:30-17:30, April 24th, 2014
　．Open Books
1. (40 points) Consider an algebraic equation of the form
　　　　　　　　　　　　 4
　　　　　　　　　　　　x　- εx - 1 = 0
　　for x, where ε in R is a parameter.
　　(a) (20 points) Suppose that ε<<1, find approximate expressions, correct
　　　　to terms of O(ε), for each of the four solutions of the equation.
　　(b) (20 points) Suppose that ε>>1, find the leading order (non-zero)
　　　　approximations for all four of the solutions. In addition, find a more
　　　　accurate approximation to the smallest root in this case.
2. (20 points) Verify that
　　　　　　　　　　　 1
　　　　　　　　　　　∫exp[-x*cosh(t)]dt ～ (2π/x)^(1/2) * exp(-x)
　　　　　　　　　　　-1
　　as x →∞.
3. (40 points) Consider an integral of the form
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞ ixt 　　　 2　-x
　　　　　　　　　　　　　　I(x) = ∫ e　　 (1 + t ) dt
　　　　　　　　　　　　　　　　　　-∞
　　for x in R.
　　(a) (10 points) Find the function ψ(t) so that I(x) can be rewritten in
　　　　the following form
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∞　xψ(t)
　　　　　　　　　　　　　　　　I(x) = ∫　e　　　dt.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -∞
　　(b) (10 points) Determine the steepest descent path.
　　(c) (20 points) Find asymptotic approximation of I(x) as x → ∞.