事实经过：
公司去年七月中旬请了一名送货司机
约定他必须从公司的冷冻库搬运货物至车上，再开车送至客户的仓库里。
该名司机时常迟到，或是与客户约定送货时间后，又常常无故迟到，惹得客户很多不满。
上个月时，他迟到的情形比较严重，我多次口头警告过他，再迟到就不要来上班。
结果这个月他还是老是迟到，无法在与客户约定的时间内送货，让客户多等很久。
因为有些客户只能在固定时间内收货，超过约定时间就没空收货，所以后来有几次我就干
脆自己先去帮他把货叠好，甚至帮他送货几次
我于6月末，他再一次迟到时，解雇他了
结果他传LINE跟我说，他去劳工局问过，叫我付他这段预告期间的薪资
(以下是该条文)
雇主依第十一条或第十三条但书规定终止劳动契约者，其预告期间依左列
各款之规定：
一、继续工作三个月以上一年未满者，于十日前预告之。
二、继续工作一年以上三年未满者，于二十日前预告之。
三、继续工作三年以上者，于三十日前预告之。
劳工于接到前项预告后，为另谋工作得于工作时间请假外出。其请假时数
，每星期不得超过二日之工作时间，请假期间之工资照给。
雇主未依第一项规定期间预告而终止契约者，应给付预告期间之工资。
问题：
1.我真的必须付这笔费用吗?
2.他这样算不算是"违反劳动契约或工作规则，情节重大者。"
或是"无正当理由继续旷工三日，或一个月内旷工达六日者"?
3.他于就职期间，曾经开车发生车祸，把车灯，保险杆…撞坏了，
公司当时没有向他请求赔偿，现在可否向他请求赔偿?