先声明我这篇文章的目的不是要分析真实棒球场上的状况
只是做个简单的数学练习题而已
诚如 eagleflyfree 所言，
在最初 ensuey 文章中并没办法看出他所宣称“该出局未出局的影响”
而只能看出取得平均要抓一个出局数需要面对几个人次
此外，正如 KDDKDD 所说，他的方法只考虑到接下来两棒，所以并不正确
以下我们来计算到底平均抓一个出局数需要面对几人次
当然，我要用不少(可能跟实际状况差很多)的假设
1. 每一棒只有制造一个出局与没有出局(就是上垒啦)两种情况
2. 每个打席上垒的机率都是 p
3. 每棒之间的结果为独立事件，换句话说，连续两棒上垒的机率为 p^2
第一个打席就抓到出局数的机率当然是 1-p
第二的打席才抓到一个出局数的机率就是第一棒上垒且第二棒出局，机率是 p*(1-P)
同理，第三个打席才抓到的机率是 p*p*(1-P)
第 N 个打席才抓到的机率就是 p^(N-1)*(1-P)
接着我们来算要面对多少个打席才能抓到一个出局数的期望值
算法是 N 乘上 第 N 个打席抓到出局数的机率， N 要从 1 加到无限大
也就是 期望值 = 1*(1-p) + 2*p*(1-p) + 3*p*p*(1-p) + ... + N*p^(N-1)*(1-p)+...
把 1-p 提出来得 (1-p)[1 + 2p + 3p^2 + 4p^3 + ... + Np^(N-1) + ...]
接下来大一微积分要派上用场了
还记得 1+ 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...... = 1/(1-x)^2 吗?
这式子刚好就是我们方括号里的东西
所以期望值 = (1-p) * 1/(1-p)^2 =1/(1-p)
数学形式还满简单的呢!
就把 p 用 ensuey 所说的上垒率 0.378 带进去吧
我们得到平均抓一个出局数所要面对的打席数是 1.6 人
(嘿，竟然跟他原本算的差不多)
不过我并没有实际平均一出局数要多少打席的数据，
所以不知道这个结果到底合不合理(也就是这个假设好不好啦)
还请板上的强者们帮忙了