先解结论：我觉得这个题目没有漂亮的解法
甚至要"证明"270就是答案，也就是
"对所有比270小的正整数n，必然存在一整数k，k=0~9，n的正因子的个位数都不等于k"
这件事情都有些棘手，写个程式从1检查到270当然可行，但有限时间内用纸笔计算呢？
数学知识可以让找答案的步骤简化，但仍然无法很好地"证明"270就是答案
如果我非得要解这题给学生看(真心认为这题对准备指考学测的帮助近乎于0)
我的方法跟原PO会类似，我会先把0~9写出来，把1划掉不考虑(1是任何数的因子)
这题必须要有一种动态的想法，答案是写成质因子分解，但随时要把数字丢进丢出
起点：2跟5一定要放进去的原因是因为要造出0
但0 1 2 5 这几个数字彼此相乘(包含2的任何正整数次方)只能造出个位数
0 1 2 4 5 6 8 还缺 3 7 9没有被cover到所以势必要引入3 and/or 7 等质数
11或13等更大的质数没有必要丢进去，因为我们只看个位数
2^a * 3^b * 5^c * 7^d
c=1 因为5^2=25个位数还是5 c放2无法多cover更多的个位数
b+d (3跟7的幂次)一定要大于1理由如下：
如果b=1 d=0 3*5个位数还是5，3*2^a个位数还是偶数 (奇数至少有3 7 9 必须cover到)
b=0 d=1结果也一样。所以3或7至少要放两个(3^2, 7^2, 3*7)进去否则3 7 9 cover不完
偶数的世界先不管，奇数的世界只能奇数去相乘起来(偶数一掺进去就会变成偶数)
要cover 3 7 9就只能靠奇数，但5又靠不住(因为5乘奇数之后个位数都是5)
所以我们就从3^b * 7^d去讨论
3的次方(的个位数)：3 9 7 1(1就过头了，循环到底了)
7的次方(的个位数)：7 9 3 1(同上)
所以要cover 3 7 9三个个位数可以有两个数字应该会比较小的选择
(b=3, d=0) => 3^3
(b=2, d=1) => 3^2 * 7
前者比较小，上面是我的思路(有点乱，而且不先看到答案的话可能一时找不出来)
把上述思路事后诸葛一下，从观察到 2 5 一定要放进去答案的质因子分解之后
可以不用管要如何去cover 0 2 4 6 8等偶数，因为 (1 3 5 7 9)*2之后个位数就是02468
这么说13579都有制造出来后02468结尾的因子自然就出来了
13579之中5跟1又可以不必讨论，5耍封闭所以一定要有5(但只要1次方就够了)
剩下379就想办法用 3^b * 7^d去讨论，但是要找"最小值"的必要条件是"有上界"
必须要有一点整数论的了解才会知道说3的次方数(b)不用找到很大
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所以我会觉得这不是一个好的考题，所用到的知识过于琐碎没有系统解题又耗时
不是要阴谋论但除非学生程度超标，否则实战写得出来的可能只有"已经先做过"的学生
会出这样题目的老师有几种可能性：