课程名称︰高等微积分二
课程性质︰数学系必修
课程教师︰陈金次
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期（年月日）︰2014.06.17
考试时限（分钟）：170
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
注意事项：以下九题全做，每题12分。作答时请分成四份，1-2题写在A卷、3-4题写在B卷
、5-6题写在C卷、7-9题写在D卷。
1. v=(x^2-yz , y^2-xz , -2(x+y)z)，试验证 div v = 0，并造一向量场 F = (P,Q,R)
使 curl F = v。
2. f_n(x) = sin(nx)， 0 ≦ x ≦ π，问：f_n 是否有逐点收敛子序列？
3. f_n(x)=nx(1-x)^n，问：{f_n} 在 [0 ,1]上是否均匀收敛？
b
4. f_n 属于 C^1[a , b]，存在 M 使 |f_n(a)| + ∫(f'_n)^2(x)dx < M ∀n。试证：
a
{f_n}有均匀收敛子序列。
∞
5. 令 (x) 表示 x 的小数部分，定义 f(x) = Σ(nx)/n^2，x 属于 R
n=1
找出f的不连续点，证明这些点在实数中可数稠密，但f在任意闭区间上 Riemann可积
∞
6. ψ(x) = -∫ (e^(-xt))*(sint)/t dt , x ≧ 0
0
∞
(a) 试证：ψ'(x) = ∫(e^(-xt))*sint dt
0
(b) lim ψ(x) = ψ(0)
x→0+
∞ ∞
7. f(x,t) = (cosxt)/t^2+1，问 d/dx∫ f(x,t)dt = ∫f_x(x,t)dt成立否？
0 0
8. x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1，点(0, 0, 1) 满足此方程式，问：
(a) 在此点附近，z 是否可表成 z = z(x,y) 的函数形式？ x 是否可表成 x = x(y,z)
的函数形式？
(b) 如可，其可微性如何？
9. 试造一保积写像把单位球映成正立方体。