大家好, 一些看法请不吝指教.
(1)
机率跟机率空间有公设, 但实际上机率 (测度) 值怎么分配, 主要还是来自于人们
是怎么认知这些事件发生的强度. 例如公正骰子的六个面出现的机率要一样, 硬币
出现人头或字的机率要一样 (这些倒还是没有争议的).
当然只要符合公设, 我们可以针对每个事件指定特定的机率值, 这些都是正常的机
率. 我设计出来的机率可以说就表示我自己对某些尚未发生事情的期待或者相信程
度. 当然, 这跟原本要解释的概念“机率零不代表不会发生”不太一样, 这里是指
别人不相信的事情不代表不会发生.
(2)
回到前面很多文章叙述的情况, 比较像是这样子: 由于连续型机率的事件空间其复
杂程度远超过原本我们所熟悉的离散型古典机率. 即使很幸运地我们常常可以用实
数集 (或者以随机变量描述的集合) 来表现出事件空间的构成, 然而我们若想对这
些事件分别指定机率, 会有一些麻烦, 因为这些事件集合本身在尺度上就有巨大的
差别.
例如假设某件事情 (以下简称 A) 在每个时间点发生的可能性或者强度是一样的,
那么
“ A 发生在早上八点三十分(到三十一分之前)”
跟
“ A 发生在早上八点三十分(不能多任何一分一秒一毫微秒或者少)”
这两种事件发生的可能性或者强度不在同一种层次上. 再讲得仔细一点, 既然我们
相信 A 发生在每个时间点的强度都是一样的, 那么
“ A 发生在恰恰好八点三十分这个时间点”的可能性,
应该都要小于
“A 发生在八点三十分的前后 t 时间内”的可能性.
我们可以相信 t = 1 的可能性应该是 t = 2 的一半对吧?
那么当 t 越来越小呢? 前者的可能性都要小于后者 (t > 0) 的情形对吧?
于是为了符合这样事件包含的机率公设, 这种事件的机率 (测度) 只能任意小, 被
压缩到 0.
(4)
当然, 在前述的“ A 发生在某个时间点”的事件还是可能存在的, 还是可能会发
生的. 但是这种单点事件发生的强度远远不如发生在某个时间区间内的强度. 可能
或许我们也可以发明新的机率概念 (整体测度超过 1 或者放弃量化的测度数值,
只采用一个比较的顺序来比较各种事件发生的可能性, 不过这我也只是随口讲讲的).
然而, 我认为有一个外部的问题是, 由于这两种事件的强度尺度差别太大, 不在同
一个层次上, 导致我们在可能的实务上不是“测量不出前者 (类似单点事件) ”,
就是“没有真的考虑到后者 (类似整个区间的事件)”.
我举例说明, 例如说在 [0,1] 区间上挑选到 0.5 这数字的事件, 如果说真的要电
脑来跑模拟去计算数字出现的频率好了, 可是毕竟电脑储存或者运算数字实际上都
是很多位数的有限小数, 所以这其实是离散的情形, 我们没有真的考虑到连续的事
件空间. 那么换一种实验方法, 例如说我想在一个一公分长的直线上, 以我相信的
随机的方法去取点, 来计算取出点的出现频率好了. 那么就算真的出现了 0.5, 难
道这没有测量误差? (只要允许误差其实就等于是测量某个区间的出现频率了) 就
算是很不幸的, 我们真的取到了 0.5 这个点, 但我们在实务上有办法判断或测量
这真的是 0.5 吗? 说真的测量有其极限, 这种事情做不太到.
因此, 把这两类发生强度不同层次的事件各自设定一个机率, 其实也没有太大的意
义, 实务上遇到的话, 我们设定模型的方式不是离散化, 其实就是几乎忽略掉发生
强度比较小的这类事件. 因为取舍之下这些机率被压缩到 0 的事件, 就算发生了,
情况跟整个连续区间的事件比起来也微乎其微, 而且测量有麻烦, 实务上不会很在意.
另一方面的取舍, 如果硬是要设定这类小事件有正的测度, 那么另一边更强的事件
测度就会是无限大 (数值超过 1 了, 也不是机率), 舍大就小也没什么意义.