※ 引述《dodomilk (豆豆奶)》之铭言：
这篇好像已经很详尽了，来随便写一些东西好了。
在很久以前，人们认为x^2这种表达法一定是表达某个面积，因此，x^2不能是负的，因为
没有这样的面积。然而，数学的发展使得人们必须引入虚数，例如在三次方程的卡丹公式
解中必须计算虚数。
当时的背景其实也只有考虑实数解而已。但某些系数的选择会使在三次方程公式解中必须
要考虑负数的平方根，并且在适当的运算规则下，最后会得出实数解。尽管很不高兴，人
们必须承认虚数的用处。
然而虚数并不imaginary。cf.高斯平面（复数平面）。
在推文中提到的关于直线的定义问题可以用intrinsic geometry解释。一般来说，我们会
考虑一个流形(以下称manifold)，并考虑上面的测量长度方式(metric tensor)。在这样的
设定下就可以定义测地线，与各种几何概念。测地线简单的说，就是一个生活在这个manif
old上的蚂蚁会感受到的直线。蚂蚁比人类厉害多了。
如果我们考虑R^3空间中的2-fold，R^3中的metric tensor自然地给出其上的一种metric
tensor，并且可以用最原始的定义开始定义高斯曲率。如果一开始我们考虑的是一个
2-fold with given metric tensor，则所有使它嵌进R^3中并保持metric tensor的方法
会给出一样的高斯曲率。也就是说，尽管高斯曲率的原始定义与嵌法有关，经过精妙的
计算后会发现只与metric tensor有关。这就是高斯绝妙定理Theorema Egregium。
Remark:我觉得高斯可能觉得他的quadratic reciprocity law比较绝妙。
所以后续提到的Poincare disk其实并不是一个这样的好的镶嵌，但是这是一个容易计算的
模型。另一个模型是数论中的宝地，H = Poincare upper half plane，metric tensor为
ds^2 = ( dx^2 + dy^2) / y^2.
测地线全部都是垂直边界的圆弧。这个metric tensor给出volume form
du = dxdy/y^2.
这个volume form 在H的自同构群PSL_2(R)作用下不变。mobius transform自然地给出
H=SL_2(R)/SO_2(R)，du就是left invariant quotient measure。

干，以为走错板

无上定理保证了想要完美地在纸上绘制地图是做不到的喔

咒文^2

老兄 你一篇文章里面一堆不平常的定义 是要写给谁看啊

为什么每个字都认识，但完全不知道在讲什么？

语言的博大精深 分开看看得懂 组合一下就看不懂了

瞬间变成数学板

完....完全看不懂

好久没碰这个头好痛

你不要拿数学系的习惯（叙述中文名词英文）来c洽发文拉><

跟我想的....一样，说的真好

这里是西

哦哦，有数学系的回文了吗XD 要不是我正好在看这本书，也不会看得懂这篇内容XDD

另外原篇把庞加莱圆盘写成球壳投影很怪吧

果然是念数学的，对长度定义的说明严谨多了

推蚂蚁比人厉害多了这句

对对对 没错就是这样

嗯嗯 跟我想得差不多

数学系的东西真是比高中数学深好多好多

嗯嗯 看不懂

兄D可以讲人话麻==

嗯嗯 我没进错板

恩恩

陈独秀同学...

对对对 我印象中也是这样

3次方根的公式很神奇 结论是可以绕过虚数w

现在是肩膀上有花的都进来了？

我看到一堆英文名词就炸了

我老实承认我看不懂

嗯嗯好哦

推阿

说啥呢

推楼楼上 师爷 你给翻译翻译 什么叫他妈的_____

西恰学数学

嗯嗯 跟我想得差不多

从第二段中间开始我就没看懂了

这篇太深了啦XDD 一般人看不懂

阿鬼你还是说中文吧

嗯嗯 跟我想的差不多

嗯嗯 跟我想得差不多