1.年级： 高一下
2.科目： 数学
3.章节：
高一下 数学归纳法
4.题目：
设 n 为自然数, 若2^(3n+3)-7n+41恒为
正整数 m 的倍数, 请问m有几种不同的值?
A: 3种 http://ppt.cc/dFou
5.想法：
其实小弟我不太确定这题目应该归类到哪一单元
比较直观的想法是直接将n=1与n=2带入
得到f(1)=98 f(2)=539
因为f(2)-f(1)不影响公因子的值
==> f(2)-f(1) = 441 = 3^2*7^2
因3不是f(1)或f(2)的因子, 49是两者的公因子
所以可以直接猜想 m 的最大值可能为49
49的因子1,7,49皆为可能的答案
如果要证明的话, 目前猜测一种可能作法
2^(3n+3)-7n+41 ==> (7+1)^(n+1)-7n+49-7-1
==> (7+1)^(n+1)-1 -7(n+1) +49 之后再整理
不过因为这题是选择题, 我想应该不需要这么复杂,
还麻烦各位版友给点意见, 谢谢

数学归纳法

代入 n=1, 2 得前两项为 49*2 和 49*11因为 m 须整除数列的每一项，所以只能 1, 7, 49

刚想到一个作法 f(n+1)-f(n)必为m的倍数f(n+1)-f(n) 整理后可得 7*2^(3n)-7 = 7[(2^3)^n-1]= 7[(7+1)^n-1] 1可以消掉 整理后必为49的倍数

这题为高一下 1-2 数学归纳法

以更正 thanks :)