※ 引述《chliao2006 (chien)》之铭言：
: Let n be a fixed positive integer,
: and suppose we list in increasing order all numbers a/b ,
: where 1 <= a,b <= n , and the fraction a/b is in lowest terms.
: Show that if a/b and c/d are consecutive fractions in this list,
: then bc - ad = 1.
对 n 作数学归纳法
n=1,2 OK
设 n>2
先将分子分母均小于 n 的最简分数由小到大排列
设 a/b < c/d 为相邻分数,则由数学归纳法的假设,有以下事实:
(1) bc-ad=1
(2) 若 a/b < x/y < c/d,则 y≧n
(2)等价于以下(2')
(2') 若 bx-ay≧1 且 dx-cy≦-1,则 y≧n
再排形如 k/n 或 n/k 最简分数
设 k/n 会插入 a/b 与 c/d 中,即 a/b < k/n < c/d
=> bk-an≧1 且 dk-cn≦-1
=> (2')的不等式有解(x,y)=(k,n)
但 (1) => (2')的不等式区域边界顶点为格子点 => (k,n) 为边界顶点
=> bk-an=1 且 dk-cn=-1 (顺便证了 k 的唯一性)
n/k 证明亦同
又头尾的分数必为 1/n,1/{n-1},..,{n-1}/1,n/1
故由数学归纳法得证