※ 引述《burder95121 (xxxx久久万xxx)》之铭言：
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: 我的积分观念不是很好...
: 第一张图片的步骤跳太快看不太懂
: 第一个式子的x~1 变成 0~y 以及第二个式子ye^(y^2) 转换方式看不太懂
: 第二张图片是台大100微C第10题 看了板上的文章还是不太懂
: ACD 板上有高手说是圆 可是看不太出来
: 也希望运算式能够清楚一点
: dx跟dy转换我头脑转不太过来@@
: 或者是能提供相关详细观念的网站
: 拜托各位了!
1.
1 1
原积分 = ∫ ∫ e^(y^2) dydx
0 x
先来看积分区域：当 x 固定于 0 和 1 之间， y 范围从 x 到 1
所以积分区域是你图里 R 的上半块直角三角形；
又我们可以这样来看这积分区域：固定 y 介于 0 和 1， x 范围从 0 到 y
由 Fubini 定理可以知道，
1 1 1 y
∫ ∫ e^(y^2) dydx = ∫ ∫ e^(y^2) dxdy
0 x 0 0
1
= ∫ y e^(y^2) dy
0
= 1/2 * (e-1)
2.
先跟你说这题目有问题，图里的积分顺序有错是 dydx 而不是 dxdy
( 看到了吗，一开始的积分区域是 0 到 sqrt(2x-x^2) )
跟 1 一样，先找出积分区域：固定 x 介于 0 和 2， y 范围从 0 到 sqrt(2x-x^2)
所以积分区域是 R = {(x,y): -1≦x-1≦1，0≦y≦sqrt(1-(x-1)^2)}
= {(x,y): (x-1)^2 + y^2 = 1 and y ≧ 0}
= 以 (1,0) 为圆心， 1 为半径之上半圆 (y ≧ 0)
可令坐标变换 x = 1+rcosθ， y = rsinθ， |J| = r
π 1
原积分变成 ∫ ∫ (r^2 + 2rcosθ + 1) rdrdθ
0 0
π
= ∫ 3/4 + 2/3 cosθ dθ
0
= 3/4 π
π/2
(A) 的 I = ∫ 4 cos^4(θ) dθ = 4 * (3/8) π = 3/2 π； 错
-π/2
π/2
(B) 的 I = ∫ 8/3 cos^3(θ) dθ = 32/3 ; 错
-π/2
(C) 的 I 刚好是我们求的积分的两倍; 错
(D) 的 I 等于 A 的 I; 错
(E) 这是对的