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作者: jackliao1990 (j) 看板: Gossiping
标题: [爆卦] 黎曼猜想重大进展
时间: Wed Jun 5 19:50:43 2024
https://arxiv.org/pdf/2405.20552
2022年菲尔兹奖得主James Maynard和麻省理工的Larry Guth取得了黎曼猜想的重要进展
-证明狄利克雷多项式取大值的频率的新界限。
狄利克雷级数的大值问题在解析数论中有广泛而重要的应用。 黎曼ζ函数就可以用迪利克
雷级数表示，其非平凡零点的分布与ζ（s）在临界线附近的大值密切相关。
令N（σ，T）表示实部至少为σ、虚部至多为T的黎曼ζ函数的零点数量。黎曼猜想下对于
任意σ>1/2，N（σ，T）都是0。
黎曼猜想的其中一个证明思路是证明零点密度估计，也就是对N（σ，T）给出一个非平凡
上界。这里σ=3/4是一个关键值。
1940年英厄姆得到了一个极限：N（σ，T）小于等于T^(0.6+o(1))，此后八十年，数学家
一直无法推进这个极限，这限制了数学家们对解析数论的探索，受限于英厄姆界，为了在
（x，x+x^θ）形式的几乎所有短区间内得到一个好的素数定理，长期以来数学家只能处理
θ>1/6的情况。
而Maynard和Guth将0.6提升到0.52。 这样θ的范围就可以从θ>1/6=0.167提高到θ>2/15=
0.133（黎曼猜想下θ>0）。
论文的论证主要基于傅里叶分析。Maynard和Guth将一个关键的相位矩阵 n^（it）=
e^（itlogn） 提高到了6次方。他们没有使用平稳相位方法来简化傅里叶积分。他们根据
狄利克雷级数的大值点位置，将问题分为加性能量E（W）小、中、大三种情况，并通过参
数的变化来处理每种不同情况。这样狄利克雷级数中隐含的相位函数 tlogn的精确形式变
得非常重要。这是一种出人意料的方式，利用了解析数论中出现的指数和的特殊性质，而
不同于人们在调和分析中可能遇到的更一般的指数和。
ζ函数的可视化动画
https://amirhirsch.com/zeta/index.html
James Maynard小档案:
菲尔兹奖、拉马努金奖、柯尔奖、数学新视野奖得主。
26岁时提出比张益唐更好的孪生质数猜想结果-存在无穷多对间隙小于600的素数对。
2019年，他与Dimitris Koukoulopoulos）一同证明了80年未解的达芬-谢弗猜想。
2020年他和Thomas Bloom合作改进无平方差集界限。
Larry Guth小档案:
麻省理工克劳德·香农数学教授。
宇宙暴胀提出者Alan Guth的儿子。
数学新视野奖、塞勒姆奖、克莱研究奖得主。
Nets Katz 一起找到了解决 Erdos 不同距离问题的方法。