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作者: jackliao1990 (j) 看板: Gossiping
标题: [爆挂] 数学家宣称突破Navier-Stokes方程难题
时间: Sat Jun 1 23:09:50 2024
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千禧年时，克雷数学研究所将NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯
存在性与质量间隙、纳维尔-斯托克斯方程式、BSD猜想列为七大数学难题并悬赏一百万美
金作为解题奖金。目前为止只有庞加莱猜想被解开。
纳维尔-斯托克斯方程式是法国克劳德- 路易・纳维、爱尔兰的乔治・斯托克斯两人考虑分
子间作用力后所建立的流体运动基本方程式，它被用来描述像液体和空气这样的流体物质
。该方程建立了流体的粒子动量的改变率（力）和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘
滞力（类似于摩擦力）以及引力之间的关系。这些黏滞力产生于分子的相互作用，方程式
描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
如果想拿到克雷研究所的奖金，挑战者必须证明三维不可压缩纳维-斯托克斯方程有解，且
如果有解，则这些解是平滑的。
最近在流体力学领域顶级期刊《Journal of FluidMechanics》上，John W. Sanders的团
队发表论文《A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem
》，号称解出纳维尔-斯托克斯方程式难题的规范哈密顿量公式。
该论文提出了基于最小二乘原理推导的最小作用原理的各向同性纳维- 斯托克斯问题的新
型哈密尔顿公式。 该公式使用速度ui(xj,t)和压强p(xj,t) 作为可变化的场量（field
quantities），以及从分析推导出的正则共轭动量。基于此，该研究构造了满足哈密顿正
则方程的守恒哈密顿函数H*，并针对可压缩和不可压缩流制定了相关的哈密顿-雅可比方
程。这个哈密顿-雅可比方程式将寻找四个独立场量的问题(ui,p)简化成在这些场中找到单
一标量泛函（scalar functional）－ 哈密顿的主泛函S*[ui,p,t]。此外，哈密顿和雅可
比的变换理论为解决纳维-斯托克斯问题提供了一个规定的方法：找到S*。
如果可以获得S * 的解析表达式，那么它将透过正规变换得到一组新的场，给出原始速度
和压力场的解析表达式，这些场将简单等价于它们的初始值。 如果做不到这一点，只能
证明哈密顿- 雅可比方程式的完全解存在或不存在，那么也将解决解的存在性问题。
这可能意味着:我们可以绕过标准拉格朗日量的限制，将问题简化为寻找单一标量函数。
如果纳维-斯托克斯有解，许多工程问题像是准确预测天气、防止飞航紊流、防止航海乱
流、医疗模拟血流、设计火箭发动机等都将解决，人类将实现科技的重要飞耀。