【书名】：社会菁英必备的数学素养
【作者】：奥利佛强森
【译者】：刘怀仁
【出版】：天下文化
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这本书的起源来自于疫情期间，作者以数学家的角度，
在网络上发表文章，帮大众解读疫情的统计数字是什么意思，
我看完这本书以后不禁感叹，如果我更早理解这些概念就好了。
统计数字怎么看？
为什么要做统计？ 因为现实中，我们不可能拿到每个真实数字，
所以我们利用一个小样本的结果来推算总体的结果，
前提是这些小样本要有足够的随机性与代表性，
这也是为什么街头的民调结果与真实结果相距甚远，
因为街头的访问虽然随机，但随机的路人并无法代表台湾的人口组成，
自然就无法以这个小样本的数据推算最后的结果。
既然是推算的结果，一定存在与真实数字的差距，
所以一个有效的统计报告通常会这么说：
“信赖区间 95 %，误差范围 +- 3%”，
什么是“信赖区间”与“误差范围”呢?
误差范围比较好理解，如果说统计结果是“某候选人支持度40%，误差范围 3%”，
就代表真实的数字可能介于43(40+3)% ~ 37(40-3)% ，
而信赖区间则是代表一个信心值，
因为统计样本有随机性，不同的抽样，有可能得到不同的统计结果，
而信赖区间代表的是如果重复这个统计好几回，有多少机率会包含真实结果，
如果信赖区间 95%，代表有 95%的机率包含真实结果。
信赖区间与误差范围会互相影响，
假设我们设定很大的误差范围，例如+- 10%，
我们当然会有极高的信赖区间包含真实结果，
但这样的统计数字就没有意义，
因为即使知道候选人的真实支持度有100%的机率落在30%-50%之间，
我们还是很难推测真实数字为何。
相反的，如果我们设定很小的误差范围，例如+-1%，但信赖区间只有50%，
代表有五成的机率39%-41%的范围没有包含真实数字，
这样的统计数字一样没有帮助，
所以以后看新闻，如果看到一些耸动的统计数字，先别着急，
先看看这些数字后面的信赖区间为何。
疫苗到底有没有用
我们用疫苗的例子来说明统计学的“虚无假设”。
新药可不可以上市，来自于新药的临床统计数字，
假设我们已知 70 岁以上男人每年有1%的机率会死亡，
现在疫苗公司将新药试用在 1000 名随机挑选的 70 岁以上男人上，
发现仅有 5 人死亡，我们是否该核准该药上市呢？
如果光看数字，原本根据统计，应该有10人会死亡，
现在使用新药后降成一半，看来新药效果很显著，
但另一方面，我们知道 1%只是统计结果，不代表每年一定会死 10 人，
所以 5 人可能只是一个随机的结果。
要怎么判断呢？统计学有个很重要的理论“虚无假设”，
意思是我们应默认新药是没有效的，
除非结果显著不同，该结果产生的机率低于随机产生的机率，
我们才足以推翻原本“新药无效”的假设，
在统计学上，我们将该机率称为 p 值，
当 p 值越小，就代表该结果越不可能发生，
如果真的发生了，就是我们假设错误，也就是我们可以推翻原本的虚无假设。
习惯上， 我们常把 p 值设为 5 %，
如果低于 5%，我们就足以认为该结果不是随机产生，而是有意义的数据。
回到新药的例子，每年有1%死亡机率，1000 人中有 5 人死亡的随机机率为6.6%，
还未低于 5%，因此代表我们的测试结果 5 人死亡很有可能只是一次幸运的随机结果，
不一定是新药带来的作用，
然而 5% 的阀值没有数学意义，只是约定俗成，
因此也不表示新药一定无效，只是还未达到统计的显著性。
普筛到底有没有用?
让我们试着用统计学来讨论疫情期间大家争论不休的一个题目：“要不要普筛？”
我们知道所有的检测方式都不是100%准确，
我们用“特异度”来表示“没有染病的人检测结果正确”的机率，
用“敏感度”来表示“有染病的人检测结果正确”的机率，
PCR 是疫情期间最可靠的检测方式，
根据统计，PCR的检测敏感度为 80%，特异度是 99.5%，
假设我们对 1000 名随机受试者普筛，假设染病率为1%，
因此我们预期 1000 名受试者有 10 人确实染病，
因为敏感度为80%，所以有8人会被正确检测出阳性，而2人错误检测出阴性。
在未染病的 990 人中，正确检测出阴性有 99.5% 的机率，
人数为 985 人，而错误检测出阳性的机率则为 5 人，
所以我们会得到 13 个阳性结果，而真正染病的机率是 8/ 13 = 62，
这显示在随机普筛的结果下，即使是像 PCR 这么可靠的检测方式，
也会得出不可信任的阳性结果，仅仅六成而已，
因此我们应该可以理解为什么当初政府一直没有做大规模普筛，
因为错误的检测结果会加重医疗系统的负荷，使真正需要医疗的人无法获得帮助。
当时的政策是如果你有出现咳嗽发烧的症状，再去做筛检，
让我们同样用统计学来看看这么做会带来什么结果。
我们假设有症状的人，每 11 人有 1 人是真正染病的人，机率大约是9％，
因为只有出现症状的人才会去做检测，我们同样假设是1000名受试者，
但现在染病的机率从原本随机的1%变成有出现症状的9%，
如果再一次计算检测出阳性，且真的染病的机率会大大提升成93.5%，
这个方法得以上让真正需要医疗的人获得帮助。
检视两个方法最大的差别在于染病率，在大规模的随机试验中，染病率是可能不到1%，
而出现症状的人染病率会大幅提升，
当染病率越高，就能让检测出阳性，且真的染病的机率大大提升，
所以普筛不是不能做，但前提是我们已知该病的染病率非常高，
检测出阳性且正确的机率很高，
只要检出阳性，我们就强迫病人隔离，限制病人活动是防疫的有效方法，
但政府在防疫的同时，也要考虑这些被迫隔离的人，无法工作，
将会损失收入，对社会经济造成影响，
所以“要不要普筛”不只是一个统计问题，还是一个取舍问题。
要在全民健康与经济损失中做个取舍。
感想
我们一路从小学开始学数学，一路学到大学，
可能有不少人觉得出了学校，这些数学根本用不上呀。
我觉得那是因为我们学数学的时候，很少跟现实的例子结合，
例如我们都学过斜率，给我几个点，可以算出连结这些点的斜率，
但算这个要做什么用呢？放到现实中，斜率可能代表感染速度，
根据斜率，我们就可以推算出未来的感染人数。
这本书不是在讲数学理论，而是想要培养一个普通人的对数字的感觉，
难怪书名叫作“数学素养”，
看来以后我们不只需要文学素养，音乐素养，也需要来点数学素养了。

统计学入门

1F…..

书名翻译实在糟糕 从中文翻译回去 英语读者八成以为作者是法西斯分子 “菁英”在欧美民主社会是很不好的字眼

其实高中数学学得够好这本可以省下来

如果内容只是这些频率学派的东东 真的别浪费钱了

信心水准 = 信赖区间包含母体参数的机率

看标题就知道要讲的是统计 一看内文果然是我也觉得这个书名不妥 这是大家都需要建立的观念不分阶级另外统计学的观念 是不是就等于 数学素养我觉得这也有待商榷

推