查资料的时候找到的
觉得写的不错大家加减看看吧ˊˇˋ
※ [本文转录自 Math 看板 #1Ezr169b ]
作者: PaulErdos (My brain is open) 看板: Math
标题: Re: [微积] 泰勒与马克劳林级数有什么关系阿
时间: Mon Dec 26 00:33:07 2011
※ 引述《sparta40 (该死的斯巴达)》之铭言：
: 感觉这两个级数非常相似
: 所以想了解一下他们的关系
: 可不可以请大大稍微解惑，或是讲讲古@@
: PS：我实在搞不懂创造 这两个级数 有什么好处
多项式是一个很棒的函数
好处之一是它可以微分无限多次
这种函数应该发予良民证 实在太棒了
不过就这点而言还不够特别
指数函数、三角函数也都可以发予良民证
多项式还有一个好处是比较好代值
13 8 5
譬如说 P(x)＝ x ＋4x －3x ＋ x － 2
如果我们要算 P(3.01)
很烦 但起码能算
但像是sin1
就不会算那么久 因为根本不会
所以就有个想法
当我遇到一个函数的时候
我可不可以写出一个多项式 是跟它很接近的呢?
或者至少 在我要算的点附近是很接近的
譬如说刚刚的sin1 如果我的多项式只能在 [0,2] 很接近 sinx 那也够用了
待我写出来以后
那么 在这所谓的"附近" 里面
就可以把我原来想对那个函数所做的一些事情 改对这个多项式做
举凡 代入、加减乘除、次方、微分、积分
所以当然 这个"附近" 便越大越好
在这"附近"里头 我们说这个多项式收敛到那个函数
那么 到底要怎么在a点的附近 用多项式p(x)逼近一个函数f(x)呢 ?
首先 当然最好能 f(a) ＝ p(a)
再来 如果f可以微分的话, f'(a) ＝ p'(a) 就更好了 更逼近
.
.
.
(n) (n)
得寸近尺 只要f可以微分n次 我也希望 f (a) ＝ p (a)
按照这个想法, 就可以写出
(n)
f"(a) 2 f (a) n
f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋...
2! n!
你可以等号两边代a 看是否相等
微分一次以后代a 看是否相等
微分n次以后代a 看是否相等
于是你便可以知道 为什么泰勒级数长这个样子
用这个就可以很轻易写出
x 1 2 1 n
e ＝ 1 ＋ x ＋ ─ x ＋ ... ＋ ─ x ＋ ...
2! n!
1 3
sinx ＝ x － ─ x ＋ ...
3!
1 2
cosx ＝ 1 － ─ x ＋ ...
2!
而这三个函数的泰勒级数 收敛区间都是整个实数
x
我们知道 e 微分以后会等于自己
我们现在把它的泰勒级数微分看看
1微分以后是0 x微分以后是1 .... 后面每一项微分都变前一项
但它有无穷多项
所以真的等于自己
你还可以再检查
sinx的泰勒级数 微分之后就变成cosx的泰勒级数
cosx的泰勒级数 微分之后就变成sinx的泰勒级数整个多负号
不过
(n)
f"(a) 2 f (a) n
f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋...
2! n!
告诉你的
只不过是一般性的做法
一般而言 只要f可以微分n次 我就可以照着操做写出一个n次多项式来逼近
却不代表
(1) 写出来的东西会有足够大的区间
有可能写出来却发现只在一个点逼近
(2) 只能这样写
事实上我们还是可以根据不同的函数 用不同的方法写出多项式出来
Brook Taylor提出他的理论是1715年的事情
然而十七世纪那些微积分先锋们
-1
就已经写出 sinx cosx tanx 等等函数的多项式展开
各自用了些奇奇怪怪的办法
不过 我们不需要会一些奇招怪技
只需要会一些很基本的办法
1
譬如说 ── , 除了用那个一般性做法
1－x
2 n
也可以直接写出 1＋x ＋x ＋ ... ＋x ＋ ....
为什么呢? 因为那就是无穷等比级数的和呀
从此还得知了 收敛区间就是 (-1,1)
1
那么 ─── 呢 ?
1＋2x
1
把它看成 ──── 就可以了 也就是说 用-2x代在x
1－(-2x)
2
所以就是 1＋(-2x)＋(-2x) ＋ ...
㏑(1＋x) 呢 ?
1
它就是 ─── 的积分嘛
1＋x
2 3
所以先写出 1－x ＋x －x ＋ ....
2
x
然后积分出 c＋x －─＋ ...
2
因为㏑(1＋0) ＝ c＋0＋0＋.... 可以得知c＝0
2
x
所以就写出 ㏑(1＋x) ＝ x －─＋ ...
2
那如果是sinxcosx 呢 ?
可以各自展开以后再相乘
sin(2x)
也可以看成 ──── 所以从sinx的展开代2x 再整个一半
2
-1 1
tan(x) 呢 ? 它的微分是 ─── 嘛
1＋x^2
再举个例子
tanx－sinx
lim ──────
x→0 x^3
一个方法是乖乖地罗必达三次
但我们也可以写出它们的泰勒展开 变成
3 3
x x
(x＋─＋ ...) － (x－─＋... )
3 3!
lim ─────────────── 不必展太多项
x→0 x^3
1 1 1
马上就看出答案是 ─ ＋ ─ ＝ ─
3 6 2
大概是这样