原文恕删
Boussinesq近似是一个准平衡近似。假设大气有一个不变的静力平衡态，而我们所关心的
是大气状态稍微偏离静力平衡态的变化。Boussinesq近似的目的是在此假设下将大气变化
线性化以求解析解。
以下转自telnet://bbs.as.ntu.edu.tw Allstudy版，
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[作者] s93015a (水瓶珩) [看板] Allstudy
[标题] [共笔] 流体力学笔记 微扰分析之静力平衡
[时间] Sun Feb 16 01:36:05 2014
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∂ρ/∂t=-U‧▽ρ-ρ(▽‧U)
∂U/∂t=-U‧▽U-gk-(▽p)/ρ
p^(1/γ)=ρRθpr^(-κ)
cpdlnθ/dt=0
以上是惯性座标中无外力、无耗散的大气原始方程
求非线性偏微分方程式的解有两种方法：数值分析和微扰分析，而后者较简单，是接着的
重点。所谓微扰分析，就是先求平衡态解，再求微微偏离平衡态的解。在数学上，就是将
变量对时间在平衡态上展开，再忽略二次以上的项，如此做的好处是将非线性
方程式线性化，一定有解析解，坏处则是无法求过度偏离平衡态的解(所谓微微偏离平衡态
的定义就是高次项比一次项小至少一个尺度)
先求静力平衡态，所谓‘静力’即U=0，‘平衡’即变量无时变率：
gk+(▽p)/ρ=0
在直角坐标上展开：
∂p/∂x=0
∂p/∂y=0
ρg+∂p/∂z=gp/RT+∂p/∂z=ρg+∂(RTρ)/∂z=0
就大气而言，压强和密度主要是高度的函数，而温度随高度的变化则较不显著。让我们求
‘静力平衡所伴随的压强函数’，方法是先考虑静力平衡态压强p0为高度坐标Z的函数：
g/RT+dlnp0/dZ=0
再沿高度坐标Z从地面Z=0(在此使用p0(0)这个边界条件)积分到实际高度Z=z
p0(z)=p0(0)exp(-z/H)
其中尺度高H为RT/g在lnp0坐标上的平均
同理，让我们求‘静力平衡所伴随的密度函数’，方法是先考虑静力平衡态密度ρ0为高度
坐标Z的函数：
g/R+d(Tlnρ0)/dz=0
再沿高度坐标Z从地面Z=0(在此使用ρ0(0)这个边界条件)积分到实际高度Z=z
ρ0(z)=ρ0(0)exp(-z/H')
其中尺度高H'虽在数学上与H完全不同，但实际上非常近似(因为温度随高度的变化不显著)
为何要求静力平衡态呢？想像重力与压强梯度力拔河，两力大部分互相抵消，而我们所关
心的是不互相抵销的部分，故求静力平衡态以得互相抵销的部分，不互相抵销的部分会在
下篇说明，这篇会更深入说明静力平衡态的特征和意义
首先，静力平衡态最重要的特征就是分层性：重力非常巨大，压强梯度力为了与之抗衡，
压强随高度指数递减，连带着密度随高度指数递减
其次，必须澄清定义静力平衡态不需要额外的假设！如同定义位温只不过定义绝热条件下
的温度而非假设绝热，定义静力平衡态也只不过定义静力平衡下的状态而非假设静力平衡
不过，静力平衡态还是有适用条件：∂p/∂z>>∂p/∂x~∂p/∂y，也就是压强变化的水平
空间尺度远大于垂直空间尺度。换句话说，在系统分层性不显著的条件下，静力平衡态就
不好用了(只是不好用，不是不成立)。
最后，分层性使静力平衡态变成特别指垂直方向。此后再提到静力平衡态只保证垂直流速
平衡态为零，不保证水平流速平衡态为零