还是回一篇好了。
既然叫approximation，必定有所简化。
如果简化的太过分，譬如说数学考试要你推导，你导出0＝0，
0＝0肯定是对的，只是你的成绩也会是0。
Boussinesq想引进"密度＝定值"这个假设来简化Navior-Stokes Eq，
问题是这会过度简化方程，以致于无法描述自然现象，
或用另一种说法：得到的解会很无趣。
(还有一个理由是：这么想当然的假设早就被研究过了，Boussinesq生的太晚了。)
接下来对于Boussinesq Approximation的诠释是我个人的看法，
其他人可能会有其它说法。
不过既然方程式就在那，每个看懂的人都可以提自己的解释，
更棒的是这些解释可能并不互斥。
Boussinesq体认到：(在地球上)水平方向上的密度变化造成的影响不大。
更正确的说法应该是地球的重力太强了，
强到只要水平方向有密度变化，流体就会自行调整，
这种调整总是倾向于把差异弭平。
(严格来说是压力变化，但在大气中的压力和密度，温度有关，
我想用密度来说明大概无伤大雅。
现实的大气或海洋中，还需要考虑potential temperature，
含水量，或盐分，那又是另外好几个故事了。)
举个例子，桌面上倒水，水会散开而不是聚在一起，
水太多的话还会流到地上，
这是因为重力，或者说水本身的重量不允许它们聚在一起。
毕竟流体和刚体不同，分子间没有结构，只要有力作用就会流动(所以才叫流体)。
桌上的水太少的时候，水可能就停在桌面上，
这时候可以观察到在水的边缘有水平的密度变化(白话：有水和没水)，
这种情况下水的重量太小，和本身的内聚力达成平衡。
但这种平衡在大尺度时根本不可能达成。
这种调整是由水平的pressure gradient force造成，但pressure源自于重力。
因为有重力的存在，
所有水平方向上的差异总是会在很短的时间内被调整成平衡。
(我仿佛能听到有人在耳边强调pressure和重力有多么的不同，
其中一个证据是重力有方向性而pressure没有，
不过任何人都不能否认某处的pressure和其上方的流体的重量是相等的。)
但是但是但是，也因为重力太强了，
些微的密度差异在垂直方向上可能会造成很强的力。
所以Boussinesq提出在z方向的方程中保留密度变化。
It turns out to be pretty good。
别的不说，我们很轻松就能导出浮力项。
说的远一点，在讨论密度不均匀的环境中的内波(internal wave)时，
reduced gravity的表示式和浮力项如出一辙。
结论：Boussinesq Approximation能把方程式大幅度简化，同时却又能保留很多物理。
题外话。
我有两个老板，
这礼拜其中一个老板带我读另一个老板在2008写的paper。
Paper里借由计算一个(假想的)气块上升时受到的浮力来讨论深对流形成的可能性。
计算浮力的公式和Boussinesq导出的浮力项是相同的是相同的。
从Boussinesq Approximation问世以来大概超过一百年了，
大气学界的想法，至少在概念上，却没什么太大的改变，
这大概从侧面说明Boussinesq的想法有多天才。