课程名称︰逻辑
课程性质︰通识A4
课程教师︰傅皓政
开课学院：
开课系所︰
考试日期（年月日）︰2017/11/06
考试时限（分钟）：90
试题 :
一、请建构命题逻辑语言（提示：包括符号与形构规则两个部分）。(10%)
　　(Construct a suitable language for propositional logic. Hint: two parts
　　involved, alphabets and formation rules)
二、请判断下列陈述的真假，并且分别以Ｔ与Ｆ代表“真”与“假”。(10%)
　　(Please judge the following statements which are true or false. Notice,
　　please use the symbols "T" and "F" which stand for true and false
　　statements respectively.)
　　＿ 1. 结论是矛盾句的论证可能是有效论证。
　　＿ 2. 前提出现矛盾句的论证一定是有效论证。
　　＿ 3. 前提与结论一致的论证可能是有效论证。
　　＿ 4. 前提实际上为假而且结论实际上为真的论证一定是有效论证。
　　＿ 5. 前提不可能全部为真的论证可能是无效论证。
　　＿ 6. 有效论证中至少必须有一个前提实际上为真。
　　＿ 7. 前提实际上为真而且结论实际上为假的论证可能是有效论证。
　　＿ 8. 前提与结论都是偶真句的论证可能是有效论证。
　　＿ 9. 前提与结论不一致的论证一定是有效论证。
　　＿ 10. 前提与结论实际上为假的论证一定是无效论证。
三、请判断下列句式哪些是恒真句、矛盾句或者是偶真句。你可以使用任何学过的方法，
　　包括真值表法、简易真值表法或真值树法，必须列出演算过程。(15%)
　　(Using some method (e.g. truth table, short-cut or tableaux system) shows
　　that each of the following formulae is tautology, contradiction, or
　　indeterminate formula. Computational process is required.)
　　(a) D → ((C Λ D) → D)
　　(b) ┐(H → G) Λ ┐(G → H)
　　(c) (K → (L → M)) → ((K → L) Λ (K → M))
四、请判断下列各题中的两个句式之间是蕴涵或是等值关系。如果是蕴涵关系，以φ╞ψ
　　表示；若为等值关系，则以╞φ←→ψ表示，必须列出演算过程。(15%)
　　(Using some methods determine the semantic relation between the following
　　formulae. If the entailment relation holds then show them of the form
　　φ╞ψ. On the other hand, show them of the form ╞φ←→ψ if they are
　　equivalent. Computational process is required.)
　　(a) M Ｖ (N → N) ; M Ｖ N
　　(b) (P Λ Q) Ｖ (Q Λ R) ; (┐P Λ ┐Q) Ｖ (┐Q Λ ┐R)
　　(c) ┐(┐A Λ ┐B) ; ┐B → A
五、请写出等值于真值表中语句φ的ＤＮＦ及ＣＮＦ。(10%)
　　(Find out the DNF and CNF each which is equivalent to the following
　　formulae φ.)
　　(a)　　　　　　　　　　　　(b)
　　┌─┬─┬─┬─┐　　　　　┌─┬─┬─┬─┐
　　│Ｌ│Ｍ│Ｎ│φ│　　　　　│Ｇ│Ｈ│Ｋ│φ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｔ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｔ│Ｔ│Ｔ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｔ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｔ│Ｔ│Ｆ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｔ│Ｆ│Ｔ│Ｆ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｆ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｔ│Ｆ│Ｆ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｔ│Ｔ│Ｆ│　　　　　│Ｆ│Ｔ│Ｔ│Ｆ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｔ│Ｆ│Ｔ│　　　　　│Ｆ│Ｔ│Ｆ│Ｆ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｆ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｆ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｆ│Ｆ│Ｆ│Ｔ│
　　└─┴─┴─┴─┘　　　　　└─┴─┴─┴─┘
六、请以真值树法证明下列语法序列是否为有效论证，若为无效论证请显示其反例结构。
　　(20%)
　　(Please use tableaux system to prove whether each of the following
　　argument is valid. And specify a counterexample if it is invalid.)
　　(a) (Q Ｖ ┐P) → ┐R ; (P Λ Q) → R ├ (Q Λ R) → ┐P
　　(b) K → L ; K Ｖ (L ←→ K) ├ ┐K
七、请完成下列演算，作答时须连同题目写在答案卷上。（10%)
　　(Please complete the following proofs. Notice: you should copy the whole
　　questions on your answer sheet.)
　　(a) 证明　├ ┐A → (A → B)
　　　(1) (┐B → ┐A) → (A → B) _______________
　　　(2) ((┐B → ┐A) → (A → B)) →
　　　 (┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B))) _______________
　　　(3) ┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B)) _______________
　　　(4) (┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B))) →
　　　 ((┐A → (┐B → ┐A)) → (┐A → (A → B))) _______________
　　　(5) (┐A → (┐B → ┐A)) → (┐A → (A → B)) _______________
　　　(6) ┐A → (┐B → ┐A) _______________
　　　(7) ┐A → (A → B) _______________
　　(b) 证明　┐┐K ├ K
　　　(1) ┐┐K _______________
　　　(2) ┐┐K → (┐┐┐┐K → ┐┐K) _______________
　　　(3) ┐┐┐┐K → ┐┐K _______________
　　　(4) (┐┐┐┐K → ┐┐K) → (┐K → ┐┐┐K) _______________
　　　(5) ┐K → ┐┐┐K _______________
　　　(6) (┐K → ┐┐┐K) → (┐┐K → K) _______________
　　　(7) ┐┐K → K _______________
　　　(8) K _______________
八、古典逻辑的语意学有三个默认，其中的真值函映原则设定古典逻辑的运算符号都必须
　　是真值函映的运算符号，然而实际上有很多运算符号是非真值函映的运算符号，请举
　　一个实例说明非真值函映的运算符号。(10%)
　　(There are three important postulates of the semantics of the classic
　　logic, one of them is the so-called the principle of truth-functionality.
　　Nonetheless we have many non-truth functional operators in our ordinary
　　language. Please take an non-truth functional operator to illustrate.)
Appendix: Rules of inference
命题逻辑公理系统(propositional logic axiomatic system)
公理(axioms)：
(A1) φ → (ψ → φ)
(A2) (φ → (ψ → θ)) → ((φ → ψ) → (φ → θ))
(A3) (┐φ → ┐ψ) → (ψ → φ)
推论规则(rule of inference)：
(MP) 从 φ 和(φ → ψ)成立，可以推论出 ψ 成立。