课程名称︰线性代数
课程性质︰必修
课程教师︰吕学一
开课学院：电机资讯学院
开课系所︰资讯工程学系
考试日期（年月日）︰2017/9/26
考试时限（分钟）：60
试题 :
第一题
Let V and W be vector spaces over a common scalar field F.
Let U be a subspace of V. Let T: V -> W. Let T': U -> W be the function with
T'(x) = T(x)
for each x∈U. Prove or disprove that if T is linear, then so is T'.
第二题
(1) (10 points) Define Lagrange polynomials with respect to distinct scalars
c , ..., c in field F.
0 n
(2) (10 points) Prove or disprove that Lagrange polynomials with respect to
distinct scalars c , ..., c form a basis of |P_n(F).
0 n
第三题
(1) (10 points) Replacement Theorem叙述中的有个前提是|S|必须有限。
请解释如果|S|＝∞的话，我们在课堂上给的证明会在哪里出错？
(2) (10 points) 我们用一个 induction by |Q| ≧ 0 的数学归纳法证明不冗咖定理。
其实我们的证明只保证定理在|Q|有限的时候是成立，该数学归纳法并没有证明|Q|=∞时
也会有某个R⊆S会满足那三个条件(相离，大小，地盘)。请你想一想根据我们在课堂上给
的归纳法证明，如何（在不更动那个证明的前提下）进一步推出既然|S|有限，也就不可
能找到一个不冗的Q⊆span(S)还能满足|Q|=∞。你的论证可以直接使用任何我们在课堂上
提过的性质(有证明或没证过的都可以)。
第四题
(1) (10 points) 请证明直观冗与威力冗等价。
(2) (10 points) 请证明威力冗与实战冗等价。
第五题
(1) (5 points) 何谓(向量空间之间的)线性函数？
(2) (5 points) 请证明线性函数必定把零怒送到零。
(3) (10 points) 请证明(从V到W的)线性函数(T)相对于(V的)某子空间(U)的值域(T(U))
也必定是个(W的)子空间。