课程名称︰实分析二
课程性质︰数学研究所必选修、应用数学科学研究所必选修、数学系选修
课程教师︰刘丰哲
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期︰2014年06月
考试时限：110分钟
试题 :
　　　　　　　　　　　　　Real Anaylsis II Final Exam
　　　　　　　　-x^2　n
1. Let fn(x) = e　　 x , x ∈R, n = 0,1,2,….
　(a) (10%) Show that <{fn}> is dense in L^2(R).
　(b) (10%) Show that the orthonormal system constructed from {fn} by
　　　Gram-Schmidt procedure is an orthonormal basis for L^2(R).
　　　　　　　　　　　　　　　k,p　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞
2. (a) (15%) Show that if f∈W　(Ω), then there is a sequence fj∈C(Ω) such
　　　　　　　　　　　k,p
　　　 that fj→f in W　(Ω_ε) as j→∞ for each ε > 0 where Ω_ε={x∈Ω:
　　　 dist(x,Ω^c) > ε}.　　k,p　　　　 k,q
　 (b) (10%) Show that if f∈W　(Ω), g∈W　(Ω), 1/p + 1/q = 1, p,q < ∞,
　　　　　　　　 k,1
　　　 then fg∈W　(Ω).
3. (20%) Suppose that f is an absolutely continuous function on [-π,π] such
　 that f(-π) = f(π) and f'∈L^2 [-π,π]. Show that Sn(f,x)→f(x) uniformly
　 for x∈[-π,π]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞　 *
4. (15%) Show that there exists T∈(l (N)) such that liminf f(j) ≦ T(f) ≦
　　　　　　　　　　　　　　∞　　　　　　　　　　　　j→∞　　 ∞
　 limsup f(j) for each f∈l (N). (Hint: Frist define T on {f∈l (N):lim f(j)
　　j→∞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　j→∞
　 exists }.)
5. (20%) Let (Ω,Σ,μ) be a σ-finte measure space, 1/p + 1/q = 1, and
　 1 < p < ∞. Suppose that f, fk∈L^p(Ω,Σ,μ) for k∈N. Show that
　 lim ∫(fk)g dμ = ∫fg dμ for all g∈L^q(Ω,Σ,μ) if and only if
　 k→∞ Ω　　　　　　Ω
　 sup ||fk||　< ∞ and lim ∫fk dμ = ∫f dμ for all E∈Σ with μ(E) < ∞.
　　k　　　　p　　　　　k→∞ E　　　　　E