课程名称︰微积分乙下
课程性质︰物治系、农化系、牙医系、公卫系、药学系、医技系、职治系 必修
课程教师︰杨维哲
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期（年月日）︰2014年 4月15日
考试时限（分钟）： 约 110 分钟
是否需发放奖励金： 是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
期中考
∂f ∂f ∂f
【公式】 f ( x , y , z ) 之梯度为 grad f = i * ── + j * ── + k * ──
∂x ∂y ∂z
（维数不同，当然要调适）
平面上， f ( x , y ) 沿着（辐角θ）方向 u = i * cos(θ) + j * sin(θ)
之变化率，就是 u 与 grad f 的内积
∂f ∂f
u ·grad f = cos(θ) * ── + sin(θ) * ──
∂x ∂y
【定理】 若 b 为常数，则：
d t d b
─∫φ(u) du = φ(t) ； ─∫φ(u) du = -φ(t) ；
dt b dt t
1. 求函数 f 之偏导函数：
y+x 2
f ( x , y ) = ∫ sin(t ) dt ；
y-x
＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿
√(π/2) - √(π/6) √(π/2) + √(π/6)
在点 ( ────────── , ────────── ) 处，函数 f 之梯度为何？
2 2
请问选择什么样的方向，可以让函数 f 减少最快？减少率多少？
1 1 1
2. 求∫∫ ───── dy dx .
0 x^(1/3) 1 + y^(4)
请画图表示一下积分域 .
2 2
3. 请说明：函数 f ( x , y ) = 5 ( x-2 ) - 4 ( x-2 ) ( y+3 ) + 2 ( y+3 ) + 5
之极小值为 5 .
1 π*xy
今函数 g ( x , y ) = ─── * sin(───) ，而 h(x,y) = f(x,y) + g(x,y) .
300π 2
求：函数 h 之极小点 .
【注】很有余裕，再算极小值 .
2 2
x y 2
4. 在 g ( x , y , z ) = ─ + ─ + z = 1 的条件下，
9 6
2 2 2
求函数 f ( x , y , z ) = x + y + 4z 之极值 .