课程名称︰高等微积分二
课程性质︰数学系必修课
课程教师︰陈金次
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期（年月日）︰2014/05/10
考试时限（分钟）：9:10~12:00
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
2 2 2
x y z
1.(10分)椭球E：— + — + — ≦ 1 ，被一组平行平面 L_t 所截，令A_t=E∩L_t，
2 2 2
a b c
P_t为A_t的重心。试证：P_t共线 ∀t。
2 2
x t
— -—
2 ∞ 2
2.(10分)f(x)= e ∫ e dt, x≧0 。试证：f↓0 strictly on [0,∞)。
x
︴1 x属于A
3.(10分) A包含于[0,1]，χ(x)= ︴ , 称为A的特征函数(characteristic
︴0 x不属于A
1
function)。若χ在[0,1]上Riemann可积，且∫χ(x) dx > 0。试证：存在open
A 0 A
interval I 使A包含I。
b
4.(10分) f在[a,b]上Riemann可积分，试求 lim ∫ f(x)|sin(nx)| dx 之值。
n→∞ a
α
︴x sin(1/x) x≠0
5.(10分) f(x)=︴ ，试决定α之值使f属于BV[0,1]。
︴0 x＝0
2 2
2 2 xy(x + y )
6.(10分) Ω={(x,y)|1≦x - y ≦2, 1≦xy≦2}，求∫∫—————— dxdy之值。
Ω 2 2
x - y
n
7.(12分) (a) Ω包含于R 为compact and connected，f为Ω上的实连续函数，g在Ω上
可积分且g(x)≧0 ∀x∈Ω。试证：存在x_0属于Ω使∫ f(x)g(x)dx
Ω
n
=f(x_0)∫g(x)dx。(∫ ...dx表R 上的积分)
Ω Ω
(b) 若connected这条件拿掉，上述结论还成立吗？
(c) 若compact这条件拿掉，上述结论还成立吗？
2 2 2
8.(10分) S表下半双曲面x + y - z = 1, z≦0，K表其上高斯曲率，求∫∫KdS。
S
9.(14分) (a) 数列S={x_1, x_2, x_3, ...}包含于[0,1]，我们称S在[0,1]上均匀分布若
#A_n
对任意[a,b]包含于[0,1]。令A_n={x_i|x_i属于[a,b], i=1,2,...,n}，则 lim ——
n→∞ n
= b－a，其中#A_n表A_n的基数。试证：S在[0,1]上均匀分布 if and only if
f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) 1
lim ————————————— =∫f(x)dx，对一切Riemann可积函数f成立。
n→∞ n 0
S (a,b) 2 2
n b - a
(b) 承上，令S (a,b)= Σ x_i ，试证： lim ———— = ————。
n x_i∈A_n n→∞ n 2
∞ sin(x+(1/x)) ∞ sinx
10.(12分) 试判断∫ ———————dx的歛散(你可把∫ ———dx收敛当作已知)。
1 x 1 x