课程名称︰高等微积分二
课程性质︰数学系必修
课程教师︰陈金次
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期（年月日）︰2014.3.29
考试时限（分钟）：170分钟
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
注意事项：作答时将答案卷分成四份，1-2题写在A卷、3-4题写在B卷、5-6题写在C卷、
7-9题写在D卷，如发生答案写在不同答案卷上者，将不予计分。四份答案卷的系级、
学号、姓名皆须标示清楚，每少一个扣五分。注意：这学期才修课的同学第一题不用作答
以下九题，每题12分。
_ _ _ _
1. Tx = Ax + b为 R^2 到 R^2 的写像，A =｜ 0.8 0.2 ｜，给定 b = ｜ 2 ｜，
｜ -0.1 0.7 ｜ ｜-1 ｜
_ _ ¯ ¯ ¯ ¯
x0 =｜ 1 ｜，令 x_n+1 = T(x_n)，n = 1, 2, 3, ... ，问 lim T(x_n) 是否存在？
｜ 0 ｜ n→∞
¯ ¯
若存在，试求其值。
_
2. f(x)=｜ 1, x≧1 ，请适当定义 f 在 (0, 1) 上的函数值，使 f 属于 C^∞(R)。
｜ 0, x≦0
¯
β
3. 求 lim ∫ ｜sin(nx)｜dx 之值。
n→∞ α
4. 给定 0 ＜ x ＜ 1，试比较 tan(x^2)、tan^2(x)、xtan(x)之值。
5. (a) f convex on (-∞, ∞)。若 f 上方有界，即存在常数 K 使 f(x) ≦ K，∀x，
试证明：f 为常函数。
(b) 请把 (a) 的结果推广至 R^2，并证明之。
1
6. f 在 [0, 1] 上连续，求 lim (n+1)∫ x^n*f(x)dx。
n→∞ 0
7. 给定 O (0, 0, 0)、A (1, 0, 0)、B (0, 1, 0)、C (0, 0, 1) 四点，试设计一网络
连接 O, A, B, C 四点使网络总长度最小。
1
8. 求 a, b 使∫｜x^3 - ax - b｜dx 最小。
0
_
9. f(x, y) =｜ (｜xy｜^α)sin(1/(x^2 + y^2)) , (x, y) ≠ (0, 0)
｜
｜ 0 , (x, y) ＝ (0, 0)
¯
(a) α= 1，试证：f_x、f_y 在 (0, 0) 点并不连续。
(b) 决定 α 的值使 f 在 (0, 0) 可微分。
p.s f_x、f_y 分别表示 f 对 x 及 y 偏微分。