※ 引述《caron0225 (淯仔)》之铭言：
: 最近工作上遇到一个热传计算的问题，想求助版上神人们的看法
: 有一个初始温度T1的金属板浸水降温，上下两面都与水接触
: 相对宽度与长度方向足够远的金属板厚度中心位置，只考虑热量只沿厚度方向
: (往上与往下)流失。
: 冷却水假设恒定温度T0(可能是因为水一直不断更新，水温不会升高，不考虑对流)。
: 给定金属板的热传导系数k，比热容c，密度p，
: 有一个年代久远不知道哪里来的冷却计算公式(目前没人懂，但是蛮准的，误差不超过5度)
: 公式如下图
: https://imgur.com/c35o8xW
: 想了解这公式如何推导出来的，我自己尝试建立这个模型的热传方程(找不到前辈问)
: 如下图
: https://imgur.com/avN9pb8
: 我本身没学过热传学，自己上网查一些资料与计算范例后，假设出来的模型。
: 得出来的结果跟那个神祕的冷却公式只差一个系数pi
: 但是看了很多类型的例题，通常只有几何有牵涉到圆形或是球形才会有pi出现
: 自己考虑的是一个长矩形金属板，不应该有这个pi。
: 但是少了这个pi，跟实务上的误差差很大...(20度以上吧)
: 这点让我困惑很久，所以来这版上寻求神人的协助!!
: 在这先感谢版上大大耐心看完我的问题!!
感谢大家提供的参考资料与建议。
花了点时间思考以及归纳了一下，还是有些困惑想再请教。
小弟先把具体的冷却模型说明清楚。
金属板延押后(延押后高温状态)直接进入传送带进入下一个加工工程。
传送带置于水箱轨道中，希望当半制品进入下个加工工程时，温度必须够低。
传送带是钢制网状大孔隙，所以金属板传送过程中，上下两面均可接触到水。
基于以上描述，小弟单纯一点，仅假设金属板是透过温差流失热量。
暂时不考虑水的对流对冷却加成的影响。
只考虑金属板中心位置，距离长度方向与宽度方向够远。
所以仅假设中心位置热量是垂直上下传递至表面。
整个传热系统以下图来示意:
https://imgur.com/wTb3R33
根据 shiow1026 大大提供的youtbe参考资料，我的热传系统刚好跟那个
youtbe参考资料一模一样。
所以我尝试套用热扩散方程求解我的传热系统，我想我的偏微分方程
与边界条件应该长这样(如下图):
https://imgur.com/VcllkS2
为了利用维基百科提到的分离变量法来解这个PDE，我把偏微分方程组改写
如下图:
https://imgur.com/yRDBXcF
那个维基百科没说式中的 Gamma(z,0) 一定要连续函数吼?
(P.S. 但是这里不连续让我觉得很奇怪?是不是应该要在金属与水的
接口考虑对流交换热系数比较恰当!!?应该可以避免边界不连续的假设)
所以应该可以套用同样的分离变量法，得到如下图的无穷级数形式的函数解
满足我的偏微分方程组。
https://imgur.com/Q6Yr3OJ
(Bye the way，那个youtuber写的solution好像exp里面少了平方...
不然不满足PDE方程，可能是笔误吧。)
由于级数的偶数项恰好为0，让 n=2m+1，并只考虑 z=a/2 位置的温度对时间关系
则原函数解可以改写成下图:
https://imgur.com/I3jQKBf
显然是一个交错无穷级数形式，且a_m数列单调递减。
根据交错级数的特性，我可以很容易确认这个无穷级数收敛。
此外，级数的首项可以当上界(也可以多取几项，得到更小上界)
https://imgur.com/nPEXQmK
原本想说，只要能证明上篇文献提到的那个古老公式可以当上界(如下图)
https://imgur.com/9mkUCCN
就能确定该古老公式是合理的。
但是我利用电脑代几组系数至原函数计算几个特例的有限项，发现
该古老公式都小于原函数解...(如下图)
https://imgur.com/Pckvx4F
感觉应该用首项或是取前几个有限项来当计算公式去评估实务上的降温才正确。
不过或许是因为我忽略水的对流对金属板的散热的效果，上述系统的PDE过于
保守，导致PDE解计算出来都高估温度。
(不过用PDE的解确实比上篇的ODE得到的解更接近实务的结果)
小弟自己猜测，那个古老公式可能是某位前辈根据实务的经验，在热导系数上
作了一些权重调整而得到的结果。(也可以让公式看起来简洁漂亮吧)
这里是我自己的猜测啦，也希望版上大大能提供小弟一些观点或看法，一起讨论。
这里补充下，其实实务上做测温验证也只量测金属板表面温度啦，公司内没有可
以非接触式探测内部温度的设备...
上篇提到古老公式比较准，这个说法好像不太正确。
由于大部分半制品金属板不算太厚，也许运气好，还没出现低估温度的状况。
(严重低估温度导致后面加工不良应该会被老板给炒了吧...)
最后，让我很困惑的一点是，为何很多热传的计算例题都不需要用到
热扩散方程来描述与计算??大多都采用 H=KA(T1-T0)/L 这种方式计算。
小弟也还无法直观的理解热扩散PDE里面的温度对空间偏微分两次的项
是怎么来的?
小弟google了热扩散方程，一直找不到能讲清楚热扩散方程的起源或推导的
相关资料。很多文章一开头就直接给出热扩散方程= =|||
另外 UMChen 大大有提到 Biot 数跟 lumped capacitance model。
google一些资料，不是很懂，感觉 Biot 数应该是一种用来评估热传系统
是否需要考虑温度与空间的关系。
而lumped capacitance model感觉跟我上一篇推导的ODE过程很类似!?
希望能提供更多Biot数与lumped capacitance model的计算范例或参考资料~
感谢大家耐心看完我的疑问，恳请版上大神能指导一下!!!