2011年02月12日（六） 10：00～12：00
一、“古怪路”上住了53 户，由近而远分别编为1, 2, 3,……, 53 号，而且相邻
的两户的间隔都是十公尺。偶数编号的住户都没有小孩,奇数编号 2k+1的住户
正好有(2k+1)^2个小孩。试问：
(1) (3分) “古怪路”上一共有▁▁▁▁▁个小孩。
(2) (4分) 现在要选择一个住家让所有“古怪路”的小朋友前来举办派对。若想要
让小朋友走到举办地点的距离之总和达到最小, 应该选择编号▁▁的住
家来举办派对。
二、(7分) 将10个箱子编号为1,2,3,……,10，另将10个球编号为1,2,3,……,10。
今规定编号 i的球只能放入编号1,2,3,……,i的箱子， i = 1,2,3,……,10。
求恰有一个空箱子的放球方法数？答：▁▁▁▁种。
三、在直角△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，其中圆O_1,O_2,……,O_n为
n(n≧2) 个相等的圆，令其半径为r。圆O_1与圆O_2 相外切，圆O_2与圆O_3相
外切，……，圆O_(n-1)与圆O_n相外切，圆O_1,O_2,……,O_n都与AB相切，且
圆O_1与AC相切，圆O_n与BC相切。试问：
(1) (2分) 当n = 2 时，r = ▁▁(化成最简分数)。
(2) (7分) 当n = 2011 时，r = ▁▁▁▁(化成最简分数)。
四、(7分) 平面上有12个点，且任意三点不共线，以其中任意一点为始点，另一点
为终点作向量，且作出所有的向量。其中 3边向量的和为零向量的三角形称为
“零三角形”。求以这些点为顶点的“零三角形”个数的最大值？答：▁▁。
五、质数p 满足两个关系式: (i) p = m^2 + n^2；(ii) p可整除m^3 + n^3 - 4，
其中m 与n 是某两个整数(可以相同)。试问：
(1) (3分) 由以上条件可以推导出：如果p≠2，则p 可整除(m + n)^▁ + ▁。
(注: 前格表示次方数)
(2) (7分)已知满足以上条件的质数是有限多个，试求：这些质数的总和？答：▁▁。
────────────────下一页为解答────────────────
1. (1)26235 (2)43
2. 1013
3. (1)5/7 (1)1/805
4. 70
5. (1)3；8 (2)20