[理工] 线代直和与正交补空间 gash55025502 PTT批踢踢实业坊

[理工] 线代直和与正交补空间

楼主: gash55025502 (白影弓) 2019-10-25 00:39:24

想问个观念问题：
我知道向量空间V的子空间W 以及W的正交补空间
可以直和分解V
但如果反过来
只知道向量空间V可分解成两个子空间的直和
是不是就代表这两个子空间互为正交补空间了？
https://i.imgur.com/vTYnN7o.jpg
https://i.imgur.com/fAxGpgl.jpg
像上面那张图的第四题跟下面那张图最上面的第三小题
是不是都只需要证明两个子空间直和分解V就好？
如果可以的话想知道这个要怎么证明感谢～

作者: Ricestone (麦饭石) 2019-10-25 00:45:00

不行，直和不需要正交

楼主: gash55025502 (白影弓) 2019-10-25 00:49:00

这样的话清大那题第三小题要用什么方法证明比较好呢？

作者: Ricestone (麦饭石) 2019-10-25 00:55:00

就直接把偶函数跟奇函数的基底写出来，证明它们正交dim相加等于4就好了啊

楼主: gash55025502 (白影弓) 2019-10-25 01:10:00

喔喔大概懂了感谢！！

作者: zuchang (chang) 2019-10-25 16:10:00

直和可以当成是空间的基底的分解因为基底不保证正交所以你的结论错误

作者: ekids1234 (∵:☆星痕╭☆) 2019-10-25 18:58:00

我知道一条在V的向量v可以拆成两条垂直的向量，但想不透和 eigenspace 的关系？(交大那题)

作者: Ricestone (麦饭石) 2019-10-25 19:01:00

Projection matrix就只有0跟1这两个特征值

楼主: gash55025502 (白影弓) 2019-10-26 16:20:00

咦所以V(0)=N(P) V(1)=Im(P) 而N(P)跟Im(P)互为正交补这样推有错吗?

作者: Ricestone (麦饭石) 2019-10-26 16:22:00

会跟ker(A)正交互补的是Im(A^T)

楼主: gash55025502 (白影弓) 2019-10-26 16:22:00

ker(P)代表会投影在0向量不就等于是跟Im(P)正交了吗

楼主: gash55025502 (白影弓) 2019-10-26 16:26:00

哦哦所以投影矩阵跟正交投影矩阵不同我再去找找资料好了感谢

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