证明: 1+1=2 数学科洪士薰老师
1. 先了解 peano 公设：所谓自然数,就是满足下列条件,
1.一集合 N 中,有元素 n,及后继元素 n+,n+与 n 对应.
2.元素 e 必定属于 N 中.
3.元素 e 在 N 中不为任一元素的后继元素.
4.N 中的元素,a+=b+则 a=b.(元素唯一)
5.(归纳公设)S 为 N 的子集,e 属于 S,n 属于 S,n+也属于 S.那么 S=N.
N 就是我们说的自然数集合.
其中我们规定 e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此类推.
2. 再来定义加法,
加法(+)为一函数,这函数满足两个条件
1.(+)(n,e)=n+ 写成大家熟悉的式子 1.n(+)e=n+
2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+
满足上面条件的函数(+),我们称为加法+.(+):=+
满足这两条件的函数是可以证明存在且唯一：证明如下
存在：
e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然数 唯一：
" În N ，
+(n,e)=n+
+(n,e+)=(+(n,e))+
+(n,e+)+)=………
故(+)存在且唯一
因为(+)(e,e)=e+
e(+)e=e+
所以 1+1=2 得证.
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上述证明翻成白话文如下： 自然数系依加法运
算分别是：1，1+，(1+)+，……。而这些 1+，（1+）+，…就用符号 2，3，…
表示，所以 1 + 1 指的是 1 后面那一个数字，也就是 1+，自然就是 2。
为什么会有 Peano 公设，及定义加法，这起源于十九世纪末，二十世纪初，Hibert，
Brouwer，因物理上狭义相对论，及量子论推翻了物理旧基础，而数学家们因此想证明，
数学是有坚固基础，是不变的真理。所以希望能从逻辑上建立一个完整、严密的基础，
于是第一个当然针对自然数系开 始，希望能像欧氏几何一样，从基本公设，
经由逻辑就可以得到完整的自然数系性质，所以归结出
Peano 五个公设（其实后人把它进一步归结成三个），而罗素与他的老师怀海德合写
<<数学原理>> 三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 拟了一连串计画要把数学的基础
转化成逻辑，这样一来， 数学家就可以宣称“数学是真理”。
不幸的是，1929 年 Godel 23 岁时证明了一个定理：
不完全性定理：
如果有一个系统包含算术，而且这一系统的基本假设并不会互相矛盾，那么这个系统中
一定存在一个命题，这一个命题的肯定或否定都无法证明。
所以数学并不只是逻辑。当然“1 + 1 = 2”的证明是否很有意义，
可以从 Godel 的定理来看看。
不管如何，亚里斯多德说：“知识始于惊奇”，若有兴趣不妨去看看下面的书：
1. 希尔伯特的 23 个数学问题（天下文化）：第五章。
2. 哥德尔不完全性定理（九章）。
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