※ 引述《daze (一期一会)》之铭言：
: 最近看到了些谈 30-year rolling return 的文章
: 突然想到，最差的30年rolling return，到底有多差?
: ===
: 考虑某投资，假设其年报酬率为独立同分布，且服从对数常态分布。
: (这里假设了分布的型态，但并不对μ跟σ做估计。)
: 问: 该投资未来三十年的累积报酬率，低于过去一百年间的 30-year rolling return
: 之最小值的机率有多少?
: 这个问题也许有解析解，但我数学不太好，就直接用蒙地卡罗法模拟看看。
: 我模拟的结果是大约 12%。
: ===
: 这里的前提，“独立同分布+对数常态分布”是非常强的假设
: 这个模拟的结果，不见得能适用于现实
: 但“过去100年的 30-year rolling return”虽然看似足足有71组数字
: 对于从中得到的一些观察
: 或许可以再思考看看要给予多少信心
小弟刚好对这颇有兴趣
以下是一点拙见：

专业

Right，其实是(报酬率+1)服从对数常态分布。我习焉而不察，漏掉了那个+1

谢谢分享

太强了

太深究没有意义，常态分布本来就有离散性，极端情况还是有可能发生，所以才要降低预期报酬来做资产配置来 ，做为一种保险手段不然大家都直接上杠杆all in上去就好了，什么都不用研究了

是与参数无关不是与分布无关吧？不然怎跑蒙地卡罗？同是lognorm得到一样估计机率，换norm得到另一估机率还是我又误解意思了？

那个粗略估计方法得到的25%的上界，与分布无关。至于蒙地卡罗得出的11.9%则需要指定分布的形式。

我可能没搞清楚假设前提，可否写一下上界解的详尽数学推导25%怎么来的简化成骰子还是要假设uniform

对任意独立同分布的四个样本，最小值出现在最后一个样本的机率为 1/4；不知否表达这个意思连续的；避免原 PO 所谓重复的情况

我试着改用对数Student's T分布做蒙地卡罗，结果是自由度越低，机率越高。自由度=1，约16.9%。自由度=2，约13.7%。直觉上这似乎很合理，自由度低，tail比较肥。但其他tail更肥的分布也会有这个现象吗?

谢谢分享。

取对数还有detrending的目的

有关‘对数常态分布’如果只是因为"股价都是正值"似乎不够完健那谓何不能用‘指数分布’或‘Gamma 分布’?还有每年的报酬谓何可以假设是i.i.d?而且股价之间是否须满足‘无记忆性’？to 冰律哥 ‘常态分布本来就有离散性’我猜您指的是离散程度。就老弟认知应该就是变异数(variable)但任何机率分布都有啊？还是冰律哥指的是discrete?但常态分布是连续型的

我猜冰律要讲的意思是常态分布在很大的地方值不为0

请问mu的区间是（-1,无限大）？