※ 引述《BMay (努力搞定统计ing)》之铭言：
: Q：两独立母体的变异数比例之检定（σ1^2/σ2^2），是否因μ已知或未知，
: 其F分配之公式而有不同？
: 这问题是我在整理公式时发现的。因为其他的μ和σ^2的检定，均会受到μ或σ
: 已知或未知，而有不同。但σ1^2/σ2^2的估计与检定，秦大成老师的讲义有列出
: 估计的不同，但秦大成和程大器老师的的＜统计学－理论与应用＞下，其检定公式
: 只列了一个，并没有考虑μ或σ已知或未知（秦老师的讲义是几年前的，不知道
: 现在有没有改）。
: 照理讲，μ已知或未知，公式应该不会一样吧？
: 是我想太多了吗？
: 有请各位高手解答。感恩~~~~
抽样分配那边一定要读熟
大部分人都是因为抽样分配不会
统计后面就只好一直背
卡方分配的定义
Z ~ N(0,1) => Z^2 ~ χ^2(1)
Z1,...Zn ~iid N(0,1) => ΣZi^2 ~ χ^2(n)
这里为
Z^2=[(Xbar-μ)/(σ/√n)]^2=n(Xbar-μ)^2/σ^2
ΣZi^2 = Σ(Xi-μ)^2/σ^2
再利用 Σ(Xi-μ)^2 = Σ(Xi-Xbar)^2 + n(Xbar-μ)^2
可以得到
Σ(Xi-μ)^2/σ^2 = Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2 + n(Xbar-μ)^2/σ^2
^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^
χ^2(n) χ^2(1)
由 Cochran's theorem 可知 Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2 ~ χ^2(n-1)
在μ已知时定义 Sn^2 = Σ(Xi-μ)^2/n 为样本变异数
则有 Σ(Xi-μ)^2/σ^2 = nSn^2/σ^2 ~ χ^2(n)
在μ未知时定义 S^2 = Σ(Xi-Xbar)^2/(n-1) 为样本变异数
则有 Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2 = (n-1)S^2/σ^2 ~ χ^2(n-1)
F分配的定义:
F=(Q1/v1)/(Q2/v2) ; 其中 Q1~χ^2(v1) ; Q1与Q2独立
Q2~χ^2(v2)
以母体变异数未知为例
Q1 = (n1-1)S1^2/σ1^2 ~ χ^2(n1-1)
Q2 = (n2-1)S2^2/σ2^2 ~ χ^2(n2-1)
则有
F = [(n1-1)S1^2/σ1^2]/(n1-1) = S1^2/σ1^2 ~ F(n1-1,n2-1)