※ 引述《dickson69 (HHHHHHHH)》之铭言：
: 请教各位大大第3题
: 小弟对于原富点这类题目一直很不懂
: http://i.imgur.com/8tET8kQ.jpg
首先看看改变Xa,Ya对Ua的影响,和改变Xb,Yb对Ub的影响
(δUa/δXa,δUa/δYa)部分
可由画图得知当2Xa>Ya时为(0,1)而当2Xa<Ya时则为(2,0)
(δUb/δXb,δUb/δYb)则=0.5Ub (1/Xb,1/Yb) 发现不论Xb,Yb为多少,Ub偏微分皆为正值
(a)小题:
A原富(Xa,Ya)=(50,50)此时2Xa>Ya,偏微分为(0,1),
当A将X小量赠与B时,A的效用不减少,却可以增加B的效用,显然这不是有效率的分配点
(ps. 直到X赠与量达25时,B效用最大,(Xb,Yb)=(75,25),
此时B不论赠与A X或Y皆会减损B效用,而不会增加A效用)
(b)小题:
不论如何交易,Xa+Xb=Ya+Yb=100,
而由前小题可知,只要2Xa≠Ya,A皆可透过赠与B较大的那一项增加B效用而不减少自己效用
故所有Pareto均衡点都落在2Xa=Ya线上,
则(Xa,Ya,Xb,Yb)=(Xa,2Xa,100-Xa,100-2Xa)又这些点都必须大于0,得Xa在0到50间
(c)小题:
来个非典型解法直接套用价格概念好了,令X价格Px,Y价格Py
均衡时A每花Px可以买得δUa/δXa效用,花Py可以买得δUa/δXb效用
则1/Px δUa/δXa = 1/Py δUa/δYa套入函数
则当2Xa>Ya时为Px/Py=0而当2Xa<Ya时则为Px/Py=无限大
当2Xa=Ya时,Px/Py可为任意数
又同理对B有1/Px δUb/δXb = 1/Py δUb/δYb套入实际Ub函数得Px Xb = Py Yb
假定B交易后X,Y改变量分别为Tx,Ty
交易过程A,B都不想赔钱,所以Px Tx + Py Ty=0 .....(1)
又交易后(Xa,Ya,Xb,Yb)=(50-Tx,50-Ty,50+Tx,50+Ty)
B此时Px(50+Tx) = Py(50+Ty) .....(2)
A此时须2Xa=Ya则2(50-Tx)=(50-Ty)则Ty=2(Tx-25).....(3)
由(1)(2)得TxTy+25Tx+25Ty=0再将(3)代入得
2Tx^2+25Tx-1250=0
得Tx=19.519或-32.019
则(Xa,Ya,Xb,Yb)=(30.48,60.96,69.52,39.04)此时Py/Px=1.7808
(后解-32使Xa=82,Ya>100)
解出来有小数点,若要整数可找附近整数点代看看...
(30,60,70,40)时Ua=60,Ub=52.92
(31,62,69,38)时Ua=62,Ub=51.21
其中(31,62,69,38)的Ua+Ub值较大
后记:
min(Xa,Ya)这函数想直接用算式处理实在.....
如果所有U对X,Y,Z.....偏微出来的函数具有连续性,
用价格概念较易处理2项以上财货
比方说有X,Y,Z三财货,各自交易量用Tax,Tay,Taz,.....表示
对A来说须
1/Px δUa/δXa = 1/Py δUa/δYa =1/Pz δUa/δZa
代入Xa=(Xa0+Tax),Ya=(Ya0+Tay),Za=(Za0+Taz)
配合Px Tax + Py Tay + Pz Taz=0
可解出Tax,Tay,Taz分别皆为Px,Py,Pz的函数
然后由Tax+Tbx+Tcx=Tay+Tby+Tcy=Taz+Tbz+Tcz=0
解联立可求出Px,Py,Pz比值,
然后求出所有T值与X,Y,Z值