※ 引述《vince68 (Hi! )》之铭言：
: 两要素(MPL及MPk)是资本密集度(K/L)的函数证明
恐怕不是所有函数都具有这样的性质
如果Q=F(K,L)=K^2+L^2就不行(MPK=2K,MPL=2L)
先来看看怎样的函数会让MPK=H(K/L),MPL=J(K/L)好了
令Q=F(K,L)
今若已知F(0,0)=N0,MPK(k,l)=m1,MPL(k,l)=m2欲求F(rk,rl), 0<r<1
则(rk,rl)在(0,0)与(k,l)连线上,任意r值使K/L=rk/rl=k/l,
则线上任意点(rk,rl)使MPK(rk,rl)=MPK(k,l)=m1,同理MPL=m2
沿该线dF(rk,rl)=MPK dK + MPL dL= m1 d(rk) + m2 d(rl)= (m1k+m2l)dr
则F(rk,rl)-F(0,0)=r(m1k+m2l)=rk(MPK(k,l))+rl(MPL(k,l))
也就是说F(rk,rl)-F(0,0)必须为规模效益不变的函数且为K,L齐次函数
F(K,L)=N0+ K MPK(k/l)+ L MPL(k/l)
反过来说,如果F(K,L)=N0+G(K,L)其中G(K,L)为K,L一次齐次函数G(rk,rl)=rG(k,l)
Gk(rk,rl)=[G(r(k+Δk),rl)-G(rk,rl)]/[r(k+Δk)-rk]
= [rG((k+Δk),l)-rG(k,l)]/(rΔk)=[G((k+Δk),l)-G(k,l)]/(Δk)=Gk(k,l)
也就是说(0,0)到(k,l)连线上任一点(即相同K/L)具有相同之Gk与Gl,
相同MPK与MPL(因不论K/L为多少,相交共享相同之唯一F(0,0)=N0常数)
则MPK与MPL皆为(K/L)之函数
结论:
欲使MPK=H(K/L),MPL=J(K/L) 则 F(K,L)必须为N0+一次齐次函数
只要F(K,L)为N0+一次齐次函数 则 MPK=H(K/L),MPL=J(K/L)