※ 引述《royerrick (Boosgiench)》之铭言：
: → royerrick: 我一直以为平射全程空气阻力会比较大 我算一下好了 07/31 10:37
: → royerrick: 黑呀 要积分 我算一下 确定我错了再来道歉 07/31 10:39
这部分我查到的空气阻力物理模型是
1. 大小正比于速率的平方
2. 方向跟速度相反
我们可以简单点考虑一个问题...就是一个小质点在飞行，
然后受到的空气阻力在他的速率是 1 m/s 的时候所造成之加速度大小是 β m/s^2
令 g 为重力加速度， x(t) 和 y(t) 是质点在 t 秒时候的 x&y 座标
我们可以写出下面这个微方
x''(t) = -β√(x'(t)^2+y'(t)^2)*x'(t)
y''(t) = -β√(x'(t)^2+y'(t)^2)*y'(t)-g
如果初速度为 V0，仰角为 θ，
则 Initial Condition 为
x(0) = y(0) = 0
x'(0) = V0cosθ
y'(0) = V0sinθ
对了，你如果还没有算出来，我觉得可以停笔了，
我不觉得这个微方有 closed form
然后我写了个程式去算不同仰角的情况下，落地时候的速度和位置
这里面 β 用的是 0.01 m/s^2
初速度是 67.5 m/s
重力加速度则是平常用的 9.8 m/s^2
仰角分别是 72, 60, 45, 36, 30, 25.7, 22.5, 15, 12 度
程式在这里有兴趣的可以玩玩看 (Python)
https://mega.nz/#!t51wRCQL!5UYa04xRSeIAlXdgkNWq3aTub5aAgCQlC5Sb2nRnd1Y
飞行轨迹长这样 (那个平的直线是高度为0的线)
https://i.imgur.com/xl0RpYn.jpg
落地的距离跟落地的速度
https://i.imgur.com/PE6NQgx.jpg
虽然两者并非严格递减的关系，
不过看起来大致上水平距离越远的话落地的速度越慢，

其实这问题从一开始就不用算，直接设定极端条件见结果就好

中世纪国王：你们这种人才去训练弓箭手太可惜了

嗯嗯我本来也想这样说的，无奈推文字数有限

差不多

恩恩 我也是...

quality post

这串越来越多人算这个了 WTF

推

嗯嗯没错没错我也是这么想（看不懂

工三小==

嗯嗯 我也这么觉得

你这个烂弓兵

不过说不定质点的假设离现实世界还很远也说不定毕竟箭身很细长 还有羽毛

箭的质点几乎就在箭头上 所以还好吧

是吗？箭杆也有相当重量吧？不知道

箭的设计中箭头是很重的 所以质点很接近箭头的

其实弓箭比起杀敌 战术效果的层面应该更大

也是有便宜的拉 不过...还要分吗 XDDDD

箭雨可给敌方吓阻力还有牵制功能 逼对方需要防守

嗯嗯 跟我想的一样

这可能又要看不同的箭头了

(′・ω・‵)<马的我真是个烂弓兵

先跟大家抱歉 那篇有一个前提我没讲清楚

箭种间的质点位置差很多 有些箭杆前端削尖就拿来射了

就是不同角度射击 且击中相同位置上的目标以此讨论终速

箭头没有很重，去看古代弓箭的箭头就知道了

跟我.....？！

roy你那个前提没差，一样直接用极端条件结果马上出来

你可以看一下落地位置刚好在60度与15度时 重叠

我猜现代箭的箭杆可以做得轻很多，毕竟有黑科技碳纤维

也就是这两个角度刚好可以击中相同目标 然后看看终速

哪一个命中时的箭速比较快

箭身会振动跟旋转 这部分对质点可能也要考虑

看了有些文献里面都说在流体里面的阻力跟速度的平方成正比耶

回shamanlin大 你提出的这两个例子并没有一定解

那极端条件只有惟一解

我一直有个假设就是初速度够快以至于命中时可达终端速

除非你设置不同条件像是往上射0阻力，水平射要穿过水不然就只有一个答案

没错 跟我想的一样

那假设完全不会影响结果，你用超高初速垂直往上射最后

自由落体最多达到终端速度 平射有机会超过吧?

用终端速度掉下来，那速度一样小于初速，不会增加的

我不确定的点是这个初速度用在平射时会不会因为距离太远而掉到终端速度以下不过算力不够 一直算不出来QQ 先感谢这篇大大帮解 感恩

不会，因为有设定地面时会先落地如果你没设置地面，平射的箭一样会因为重力往下掉但因为水平方向的速度较高，所以还是水平射击胜

箭杆跟箭头要一般重吧...不然射出会不平横吧,怎么一堆人认为箭杆没重量...

除非极端再极端，目标终点在远方无限低于水平面

直接画轨迹图应该更直观

我说的平射其实是小角度(接近0)射击 因为人有高度

所有水平动能全部被空气阻力抵销到零，然后垂直达到终

我的观点是平(小角度)射与大角度射击谁会胜出取决于初速度以及你与目标间的距离

一样是小角度胜，上面极端例子已经说明了

这篇模拟提供一个证据 就是60度与15度可射击同一目标

射击到同样目标为前提，小角度代表路径短损耗少命中快

前面的人平射 后面的人抛射不是最猛最难闪吗

平射是最难闪的，远距离抛射因为箭的落地方向跟人的移动方向不同，加上投影面积较小，其实更难命中

并不是路径越短 耗损越少

但全平射的话 可以拿前面的人当挡箭牌阿

补命中率问题，让一堆人同时间一起射增加密度

但是末速度 不一定真的要算才知道 = =Y

箭杆和翔羽也很重要啊，弓箭的杀伤力不是只有箭头，还包含滑翔的力量，不然射弹弓就好了干嘛还那么麻烦制作箭

这一整串都让我想到the Big Bang theory

推 big bang theory

原来是弓箭手啊，我还以为是数学家呢

平射通常都是弩队在用的吧

beta影响很大吧 你beta的数值怎么来的？

....期待含乱流的分析

我记得速度慢的话是跟空气阻力成正比而已要快一点才是平方不过箭应该算快了感觉回到普物了呢

大一普物课有写过类似程式 只是我们用的阻力模型是正比于速度 结果好像是仰角3X度时会有最远射程吧