1.年级： 高中二年级下学期
2.科目： 数学
3.章节： 2-1 空间中的平面
4.题目： 板桥高中100年第一次段考题目 填充5
三平面x+2y+3z=1 ,2x+y+3z=1 ,3x-y+2z=1
，若空间中一点P(a, b, c) ，到三平面的距离分别为L, M, N
，试求L^2+M^2+N^2 有最小值时，L:M:N =
答案(L:M:N=5:7:3)
5.想法： 第一个方向直接朝着点到平面的公式去解 但发现会出现a+2b+3c-1的绝对值
题目问了平方是可以成功把绝对值处理掉 但内部不是个好化简的东西
有尝试搭配了算几不等式或柯西不等式找出最小值 但发现还是解不出来
第二个去分析三个平面的关系 计算后应该是两两平面交一线
P点应该会落于内部空间的位置 但是仍然算不出来 因此请各位前辈
看能不能解出或者给个方向思考呢 谢谢

利用三角形面积去找限制条件。这题没意外应该会做的满辛苦的。喔对，这题或许没必要使用点到平面的距离公式，看来是故意要误导学生用的。

结果我也被误导了QQ

平面顺序有错吗? 我用你的顺序+柯西 算出 5:7:3你给的答案是错的 5:7:3 是对的

刚刚检查一下发现 我打错答案了 抱歉感谢大家的分享 我已经成功算出来了 谢谢大家

请问过程怎么算~~

中线定理吗？ 是不是重心呢

我后来是用柯西求出的 中线定理? 这样要切在同平面吗

问题最后可以看成是一个三角形中间有一点与三边距离为L,M,N算出这个三角形的三边长a,b,c后，(L^2+M^2+N^2)(a^2+b^2+c^2)>=(aL+bM+cN)^2后者是定值。