楼主:
suhorng ( )
2017-12-17 01:27:25※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之铭言：
: 想问一个关于反函数的问题
: 我知道反函数的定义 也就是原本函数的定义域为另一函数的值域 原本函数的值域变为
: 新函数的定义域 则两函数互为反函数
这样描述还会包括进很多不是互相为反函数的组合
f : R -> R
f(x) = x+1
g : R -> R
g(x) = x+2
这样定的话 f 的值域跟定义域都是 R, g 也是, 他们不互为反函数
重要的是反函数要把原本函数送过去的东西再送回来, 让他们两个合成后是 identity
: 请问…假如一函数f(x)=y=x-1
: 则f^-1(y)=x=y+1=g(y)以及f^-1(x)=y=x+1=g(x)
: 这两个到底哪个才是f(x)的反函数 印象中会因习惯问题讲自变量以x表示 然后f^-1(y)
: =x=y+1=g(y)改为f^-1(x)=y=x+1=g(x)然后才会跟f(x)对称
: 但第一张图突然又说g(y)是f(x)的反函数 那g(x)又是什么…
1. 函数里面的变量是 "dummy variable", 不论我们用什么变量, 他们表示的都是
同一个函数. 令
f(x) = x^2
g(t) = t^2
h(u) = u^2
r(a) = a^2
不仅 f, g, h, r 相等, 而且 f(x) = x^2 跟 f(t) = t^2 跟 f(z) = z^2 通通一样
函数就是把一个东西映射到另一个东西, 而 f(x) = x+1 这种记号的意思就是,
对于所有在定义域中的物件, v, 我们把它关联到对应域中的物件 v+1
其中我们应该要知道在对应域中 "v+1" 要怎么解读
2. 文章中符号有混淆的地方
f(x) = x-1
f(t) = t-1
f(z) = z-1
这里的 x, t, z 是 dummy variable, 用来代表这个函数要把什么数字
送到什么数字, 用什么符号都一样
"令变量 y = f(x), f(x) = x-1"
这句话想表达的是, 在以下环境中, 我们希望 y 是 x 的函数.
虽然我们只写一个字母 y, 但是心中要把他想像成 f(x), 想像成 x-1 之类的算式
而当我们写 g(y) = y+1, 这里的 y 跟上面是毫无关联的, 他只是在表示
g 这个函数是把一个数字 v 送到 v+1, 这个 y 是用来描述 g 这个函数的
dummy variable, 不是 y = f(x) 的 y
3. 若 y = f(x) = x-1
则 f^{-1}(y) = y+1
到此为止, 没有 f^{-1}(x) = y = x-1 这个等式
我们知道 f 会把 x 送到 x-1, 也就是把 5 送到 4, 把 123 送到 122
而 f 的反函数会把一个数 y 送到 y+1, 也就是 7 送到 8, 把 255 送到 256
f^{-1}(y) = y+1, 我们可以任意改变变量, 不影响 "把什么数字送到什么数字":
f^{-1}(w) = w+1
f^{-1}(t) = t+1
他们都是一样的. 因此 f^{-1}(x) = x+1 才会代表同一个函数
假如我们认定了符号 y := x-1, 那么显然 f^{-1}(x) = x+1 不等于 y
: 第二张图说f^-1(y)为反函数 让我觉得很矛盾 f^-1(y)不是只是f(x)移项的结果吗 然
: 后要把y换成x 也就是f^-1(x) 这个东西才是反函数吧…
: https://i.imgur.com/ueAMwrL.jpg
: https://i.imgur.com/fD8DKfi.jpg
符号上习惯让 "f^{-1}(y)" 指称 f(x) 的反函数罢了
函数重要的是输入与输出之间的关系, 中间用什么方式来描述都不影响的
也有的介绍到集合论的书会用数对的集合来建构函数:
把 f : N -> N
f(x) = x+7
这个函数, 用集合 {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), ...} 来表示
这样我们知道输入是 2 时, 也能输出要是 9