※ 引述《SamBetty (sam)》之铭言：
: 题目：
: → 2
: Let C be the oriented curve parameterized by r(t) = (cost, sint, 8-cos t-sint),
: → 2 2 2 √z
: 0≦t<2π, and let F be the vector field F(x,y,z) = (z - y ,-2xy , e cosz).
: → →
: Evaluate ∫ F‧dr.
: C
: 我有试着用Stokes' Theorem去解，但是卡住了。请问这题有什么方法可以解吗？
: 谢谢！
还是可以用 Stokes' Theorem 来处理啊
→
curl F = (0, 2z, 2y-2y^2)
令 S 为 x^2+y^2 ≦ 1 和 z = 8-x^2-y 之交集
∂_x (x,y,8-x^2-y) = (1,0,-2x)
∂_y (x,y,8-x^2-y) = (0,1,-1)
(1,0,-2x) x (0,1,-1) = (2x,1,1)
因此由 Stokes' 定理，
→ → → →
∫ F‧ dr = ∫ curl F‧ ds ，
C S
= ∫∫ (0, 2(8-x^2-y), 2y-2y^2 )‧(2x,1,1) dydx
x^2+y^2≦1
= ∫∫ 16-2(x^2+y^2) dydx
x^2+y^2≦1
= 16π - π
= 15π