※ 引述《buffalobill (水牛比尔)》之铭言：
: 想到就po
: PuzzleUp风味题
: 先说这题我写程式算的
: 纸笔的话我还不知道如何列式子……
: 【掷骰算分】
: 掷一枚公正骰子六次，并计算分数
: 分数的计算规则如下：
: 第1次掷骰：掷出的点数即为起始分数
: 第2~6次掷骰：与上一次掷骰作比较
: 若比上次掷骰点数高，则分数+1
: 若比上次掷骰点数低，则分数-1
: 若与上次掷骰点数相同，则分数加倍 (分数可小于0)
: 问：若第一次掷骰点数为2，则六次掷完分数的期望值为何？
: 以最简分数作答
: 若只掷两次，则期望值为 17/6
令 f(s, d, n) = "现在是 s 分，上一次的点数为 d ，还可以骰 n 次" 的期望值
f(s, 1, 1) = (7/6)*s + 5/6
f(s, 2, 1) = (7/6)*s + 3/6
f(s, 3, 1) = (7/6)*s + 1/6
f(s, 4, 1) = (7/6)*s - 1/6
f(s, 5, 1) = (7/6)*s - 3/6
f(s, 6, 1) = (7/6)*s - 5/6
观察到 s 的系数都是 7/6 ，令常数为 b_{1,1}, b_{2,1}, ..., b_{6,1}
则 b_{1,1} = -b{6,1}, b_{2,1} = -b_{5,1}, b_{3,1} = -b_{4,1}
假设:
f(s, d, n-1) = a_{n-1} * s + b_{d,n-1}
且 b_{1,n-1} + b_{6,n-1} = b_{2,n-1} + b_{5,n-1} = b_{3,n-1} + b_{4,n-1} = 0
(在 n-1 = 1 时，假设成立)
则:
f(s, 1, n) = (1/6)*( f( 2s, 1, n-1)
+ f(s+1, 2, n-1)
+ f(s+1, 3, n-1)
+ f(s+1, 4, n-1)
+ f(s+1, 5, n-1)
+ f(s+1, 6, n-1))
= (1/6)*( a_{n-1}*2*s + b_{1,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{2,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{3,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{4,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{5,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{6,n-1})
= (1/6) * ( 7*a_{n-1}*s + 5*a_{n-1} )
同理， f(s, 2, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 3*a_{n-1})
f(s, 3, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 1*a_{n-1})
f(s, 4, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 1*a_{n-1})
f(s, 5, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 3*a_{n-1})
f(s, 6, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 5*a_{n-1})
==>
f(s, d, n) = ((7/6) * a_{n-1}) * s + b_{d,n}
b_{1,n} = b_{1,1} * a_{n-1}
b_{2,n} = b_{2,1} * a_{n-1}
b_{3,n} = b_{3,1} * a_{n-1}
b_{4,n} = b_{4,1} * a_{n-1}
b_{5,n} = b_{5,1} * a_{n-1}
b_{6,n} = b_{6,1} * a_{n-1}