看到现在高中物理有教测量不确定度之类的主题
但是有些公式看了不知为何那样
查了网络教学 都是直接给公式整理和解题
不知道是高中都那样教 还是打算在付费课程教详细原理
后来找到林秀豪教授的影片 有稍微解释来源
例如某个公式中需除以2√3 是因为考虑uniform distribution算出的
不过乘积和商的不确定度公式怎么来 似乎没找到解释
但既然知道是从随机变量而来 就可以算算看
如果X,Y彼此独立 E[XY]=E[X]E[Y]≡uv
E[(XY-uv)^2]=E {[X(Y-v)+v(X-u)]^2}= (v^2)Var(X)+(u^2)Var(Y)+Var(X)Var(Y)
而高中教的公式是(v^2)Var(X)+(u^2)Var(Y)
很可能假设了变异数很小 Var(X)Var(Y)就忽略掉
所以另一种推导法是 XY-uv=[u+(X-u)][v+(Y-v)]-uv ≒u(Y-v)+v(X-u)
至于X/Y相关的期望值 应该没有确定公式 必须依赖机率分布实际算
所以很可能也是假设了变异数很小 机率都集中在平均值附近
E[f(Y)]≒E[f(v)+f’(v)(Y-v)+…] → E[1/Y]≒1/v, Var[1/Y]≒(1/v^4)Var[Y]
代入乘积不确定度公式Var[X(1/Y)]=[E(1/Y)^2]Var(X)+(u^2)Var(1/Y)可得高中教的
或者一般性的有E[f(X,Y)]≒f(u,v)+(1/2) [fxxVar(X)+2fxyCov(X,Y)+fyyVar(Y)]
Var[f(X,Y)]≒[(fx)^2]Var(X)+2fxfyCov(X,Y)+[(fy)^2]Var(Y)