2018 年 7 月 10 日 星期二
4. 平面上的一个点 (x,y)，若 x, y 都是小于或等于 20 的正整数，被称作
“网格”。
一开始，全部 400 个网格都是空的。甲和乙两人轮流放石头。先由甲开
始。在甲的回合，甲将一个新的红石头放到一个空的网格上，使得任意两个
放红石头的网格距离都不是 √5。而轮到乙时，乙将一个新的蓝石头放到任
何一个空的网格上（放蓝石头的网格与其他放石头的网格之间的距离，不管
是多少都可以）。直到其中有一个人不能再放石头时，他们就停止。
求出最大的 K 使得不论乙怎么放石头，甲都保证至少可以放 K 个红石头。
5. 令 a_1, a_2, ... 为一个无穷长的正整数数列。假设整数 N > 1 ，满足
对每个 n ≧N，
(a_1 / a_2) + (a_2 / a_3) + ... + (a_{n-1} / a_n) + (a_n / a_1)
都是整数。证明存在一个正整数 M 使得当 m ≧M 时，a_m = a_{m+1} 恒
成立。
6. 一个凸四边形 ABCD， 满足 AB * CD = BC * DA。点 X 在 ABCD 内部，满
足 ∠XAB = ∠XCD 且 ∠XBC = ∠XDA。
证明 ∠BXA + ∠DXC = 180°。