※ 引述《pikahacker (Beat Cal)》之铭言：
: Start with a row containing all positive integers. Then delete every mth
: column. Then replace the remaining entries by partial sums. Delete every
: (m-1)st column. Then replace with partial sums again, and so on. Show that
: the final result is a sequence of mth powers.
: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
: 1 3 6 10 16 23 31 40 51 63 76 90
: 1 4 10 26 49 80 131 194 270
: 1 5 31 80 211 405
: 1 32 243
对任意正整数w, 设袋子A中有w种颜色的球各无限多个, 且其中一种是白球, 没有黑球,
则定义
D(w,x,y,z)=所有排序的m个球中, 满足下列三个条件的可能数
1. 从A袋中拿m-z个球, 另外再拿z个黑球来排列
2. 其中白球和黑球以外的球不多于x个
3. 每一个黑球前面至少有y个白球
那么讨论可得
D(w,1,m-z-1,z)=wm+z+1
D(w,x,y,z)=D(w,x-1,y+1,z)+D(w,x,y+1,z-1) if x+y+z=m
D(w,x,y,0)=D(w,x-1,y+1,0)+D(w-1,x,0,m-x) if x+y=m
D(w,m,0,0)=w^m
于是用D()和上面的数列对应即得证
例如上面的 6 7
16 23
26 49
中, 6=D(2,1,4,0), 7=D(2,1,3,1), 16=D(2,2,3,0), 23=D(2,2,2,1),
26=D(2,3,2,0), 49=D(2,3,1,1)
其实我一开始是用类似生成函数的样子想的, 不知道那样是不是想起来比较方便一点
不过用生成函数的model很难描述...