各位好：
在练习向量空间时遇到一些问题，
我试着写出想法，还请各位不吝指教，谢谢！
1.
https://imgur.com/oHS1ic9
(1) W1我的想法是，0函数时f(x^2)=[f(x)]^2是成立的，
所以这个集合不是空集合，再来任取f(x)、g(x)属于W1，
移项可得f(x^2)-[f(x)]^2=0，最后取α属于实系数，
则αf(x^2)+g(x^2)= α[f(x)]^2+[g(x)]^2成立，
所以W1是V的子空间。(但答案显然不是XD)
(2) W4是因为0函数不满足f(3)=1+f(-5)，所以不是子空间吗？
(3) W5是因为零函数为连续函数，非空集合，且若f(x)、g(x)为连续函数，
则取α属于实系数，αf(x)+g(x)也为连续函数，满足封闭性，
所以W5也为V的子集合吗？
2.
https://imgur.com/SfiBSzm
W1 U W2的表示法，y=0或y=-x，y=-x是怎么来的呢？
3.
https://imgur.com/1I1ti7O
我将题目理解为下列哪些是S的生成集，表示各选项是否可以生成S吧？
之后将S表达为{a(1,1,1,0)+b(0,1,-1,-1)}，
并将选项内的向量和题目的两个向量去做列运算，
https://imgur.com/xUYrBC6
如上图，第四行就算再消去也不会变成零列，那不就表示选项1的两个向量
无法组合出(0,1,-1,-1)这个向量吗？还是我理解上有问题呢？
4. 题目：Find a 2 by 2 matrix A such that ColA=NullA
https://imgur.com/zoqgqEn
我的想法如上图，那只要是这两个矩阵的任意系数倍组合都是答案囉？
(参考答案给的是我写的第三个矩阵[1 -1]，不太会打矩阵所以将就一下)
[1 -1]

1(1)你要考虑的对象是(f+g)(x)1(2)对，而且有常数的时候基本上加分都out2 y=0就W1，y=-x就W2，大哥....3 选项1确实没办法4 请注意你相减的步骤加个常数后续也会对2*2矩阵的rank 只有0 1 或2三种可能rank =2那null space只有0rank=0那range也只会是{0}所以对2*2的矩阵而言，range =null只会发生在rank =1的情况下嗯...结论上所有符合条件的矩阵都相似于2*2的上三角或者下三角矩阵省略过多lol，反正有点eigenvalue 的概念就很简单不然你也可以从讨论A^2=0下手

1.(1)跟4.如下，其他就楼上讲的https://i.imgur.com/OIVRJoy.jpg1.(1)取的函数的要改成f(x)=2^ln(|x|), if x € R-{0}, and f(0)=0没注意到x € [-inf,0]的情况,g(x)同理

你那是欧元...？

欧元XDDDD