Q. Which of the following statement is true?
(A) Every matrix is row equivalent to a unique matrix in echelon form.
(B) Any system of n linear equations in n variables has at most n solutions.
(C) If a system of linear equations has two different solutions, it must have
infinitely many solutions.
(D) If a system of linear equations has no free variables, then it has a
unique solution.
(E) If A is an m x n matrix and the equation Ax = b is consistent for some b,
then the columns of A span Rm.
(A) False, echelon form 不唯一，reduced row-echelon才会唯一
(B) False, 可能“有解(唯一/无限)、无解”
(C) False, 有可能是“唯一解、零解Trival solution”
(D) True
(E) False, 对某些b才有解，代表Range(A)不能涵盖整个对应域Rm
这是我的想法，但是我不确定(A)和(D)，想问一下大家的想法，谢谢。

你对C的理解错了 这是已经确定存在两个不同解的状况D可以无解 no free variable只能确定不是无限多解

D: Ax=0 ,det(A)=\=0 无解 & trivial

Ax=0，A可逆的解就是x=0喔不是无解

谢楼上Ax=0 A可逆是只有trivial 我多想了sor .D无解情况是Ax=b A可逆 b Cs(A)b不属于Cs(A)

A可逆的话解就是A^(-1)b喔 CS(A)会是整个空间无解的情况是A为瘦矩阵的状况举例来说就是x-y平面上三条线没交于一点的时候

谢谢 我罚自己回去复习

所以(C)Ax=b，有两个对值域到同一解，nullity!=0，无限多解，然后(D)是Ax=b，no free var可能是无限多解/无解感觉我(D)想错了，R大要说的是Ax=0情况下，也是no freevar(A可逆)，只有trival solution，没有unique solution不知道我这想法对吗?

trivial solution就是unique solution啊no free variable就一定不是无限多解但可以有唯一解或无解 现在如果A可逆那就一定唯一解应该直接这样问，你知道没有自由变量是指什么情况吗？

自由变量就是方程式写成扩增矩阵消去后，未知数-有意义的方程式，剩下的就是任意常数所以意思是无解的RREF，就像你上面说三条线平行的情况也是属于no free var的情况吗?照这样想的确(D)是False

有平行的反而是有free variable的状况我说的是三条线不是交于一点，而是两两交于一点nullity会跟free variable的个数相同我其实看不懂你对free variable的解释free varible就是非pivot variable的variable而且这跟增广矩阵没关系，A本身就看得出来有没有f.v.